www.pi314.net


Histoire
Mathématiciens
Toutes les formules
Approx. numériques
Programmes
Algos perso/divers
Décimales
Poèmes
Articles/vidéos
Délires !
 Pi-Day
Images/Fonds
Musique
Liens sur Pi
Bibliographie



Boris Gourévitch
L'univers de Pi - V2.57
modif. 13/04/2013



Pi-Day dans
Pi Day Countdown
Google
Accueil Historique/Actu (Pi, site, moi) Edito Livre d'or Pages en .pdf Je me présente Quelques photos Remerciements Page des nets d'or Sites qui m'indexent Derniers changements Contact

Cette page en français This page in English


pict

Pi-Story ou l’histoire du nombre Pi



Pages associées

Intro vraiment courte :

p  est une constante qui trouve ses origines dans la lointaine antiquité. Que de chemin parcouru jusqu’à ce jour !

L’histoire de la constante s’étale sur quatre périodes bien distinctes durant lesquelles l’esprit et les méthodes associés à p  furent bien différents. On retient essentiellement :

1. p  dans l’antiquité

* Antiquité - XVIIe siècle : la méthode géométrique d’Archimède  triomphe

2. Ah, enfin l’analyse !

* XVIIIe - début XXe : c’est le temps des découvertes et des formules dans tous les sens !

3. Les ordinateurs au travail...

* XXe siècle : avec les équations de Ramanujan  et les ordinateurs, on peut repousser les limites du calcul.

4. Promenons-nous dans les décimales

* A l’approche du millénaire, Plouffe  fait sa révolution !

 

Intro plus sérieuse !

Le nombre p  occupe une place très particulière dans le monde mathématique, et sans cesse réaffirmée. Il peut se targuer d’avoir occupé l’esprit des mathématiciens dès l’antiquité, et comme le disent Bergrenn et les frêres Borwein  [6], le calcul de ses décimales est probablement le seul problème apparu dès les prémices des mathématiques, et qui soit encore d’actualité dans la recherche moderne. Pourtant, les motivations associées ont sensiblement évolué au cours des siècles.

D’abord liées au besoins pratiques et quotidiens des anciens, les évaluations toujours plus précises du nombre p  ont ensuite découlé, presque comme un jeu, des découvertes successives et foisonnantes de formules d’analyse toujours plus efficaces de la renaissance jusqu’au XIXe siècle.

La révolution des ordinateurs au XXe siècle changea ensuite complètement la donne : l’attrait du calcul ne venait plus du résultat en lui-même, mais de la manière de l’obtenir, du point de vue des techniques mathématiques et algorithmiques. Un nouveau changement de cap a fait son apparition depuis 1996, qui tente de mettre en relation les expressions analytiques de p  et la structure profonde de ses décimales. De ce champ d’explorations à la frontière de la théorie de la complexité ont éclos quelques conjectures encore ouvertes sur la nature “aléatoire” de nombreuses constantes mathématiques (p  ,ln(2)  , etc...). D’autres conséquences jusqu’ici insoupçonnées, comme la possibilité d’atteindre dans certaines bases le n-ième digit de p  sans connaitre les précédents avec peu de mémoire et de temps, ont renouvelé l’attrait du calcul des digits ou décimales du nombre p  .

Cette page se propose de revenir sur ces quatre périodes charnières (Antiquité, 18e/19e siècle, 20e siècle, et depuis 1996) en expliquant les cheminements de pensée et les méthodes de calcul qui ont conduit à connaître plus de       9
1241.10  décimales de p  en ce début de troisième millénaire ! Nous achèverons cette synthèse par un petit état des lieux des motivations actuelles de calcul des décimales de p  .

1 p  dans l’antiquité

Avec Pi, la machine à explorer le temps est une réalité... Mais bien sûr, pour plus de commodités, le langage moderne et habituel des mathématiques est utilisé ici... Il ne faut pas croire que les Babyloniens écrivaient et les nombres en décimales. Ils ne connaissaient même pas la trigonométrie et utilisaient la base 60 au lieu de la base 10, en notation fractionnaire (a = b+ c-+ -d2-
       60   60   ). De plus, les signes +, =,2  , V~  n’ont été inventés que pendant la renaissance, les écritures de l’antiquité ressemblaient plus à du langage écrit qu’autre chose. Les égyptiens avaient un peu d’avance puisqu’ils utilisaient le système décimal, manipulaient les fractions de numérateur 1, et avaient inventé un signe + (deux jambes vers la gauche) et le - (deux jambes vers la droite). Cela étant dit, retournons aux origines de la légende...

1.1 Du haut des pyramides, p  nous contemple !

On me demande parfois en quelle année a-t-on découvert p  ! Je ne sais pas répondre à cette question car c’est le résultat d’un long processus. Les anciens avaient essentiellement besoin de la géométrie pour les mesures de surface de terre, ou dans l’architecture, par exemple pour évaluer la taille et la proportion des bâtiments. Selon l’historien grec Herodote, on pouvait trouver de nombreuses relations géométriques dans les pyramides de Gizeh, à qui il rendit visite vers 450 AV. J.C. (soit plus de 2000 ans après leur construction tout de même !). Par exemple, un principe de construction voulait que l’aire de chaque surface latérale soit égale à l’aire d’un carré de côté égal à la hauteur de la pyramide (ce qui est vrai à 0.7% près pour la pyramide de Kheops !). De nombreuses constantes apparaissent ainsi de manière quasi-magique, puisque le rapport de la hauteur sur le côté de la base de la pyramide vaut p2  à 1,7% près. Ces coïncidences remarquables sont parfois contestées mais restent fascinantes.

Le plus ancien objet où p  intervient plus ou moins implicitement est une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936 et qui remonte à la période 1900-1600 avant J.C. Elle évalue le périmètre d’un hexagone à 2245  fois celui du cercle circonscrit (soit [0,57,36]  dans leur base 60  dont il nous reste le décompte des secondes/minutes), ce qui revient à estimer pBabylone = 3+ 18 = 3.125  . C’est officiellement la plus vieille approximation connue de p  !

De même, pour revenir aux égyptiens, le célèbre papyrus de Rhind rédigé en écriture hiératique et découvert en 1855 par A. H. Rhind à Louxor relate une série de problèmes anciens recopiés par le scribe Ahmes. Le no50  affirme que l’aire d’un disque de diamètre 9  est égale à 64 , soit le carré du diamètre auquel on a retiré 19  de sa longueur (     )
9 - 19.9 . Ceci revient à estimer p      = (16)2 = 3.1604...
 Egypte    9  . Ils sont probablement parvenus à cette idée en approximant l’aire de ce disque par celle d’un octogone partitionné en carrés et triangles de côté 1, et qui donne alors une aire de 63 (problème no 48). Notons que les Egyptiens ne travaillaient qu’avec des fractions de la forme 1
n  et qu’ils avaient donc opté pour la meilleure des approximations de ce genre puisque la diminution du 1
9  est meilleure que la diminition du 1
8  . Remarquons tout de même (soyons beaux joueurs !) que ces moyens rudimentaires ont fourni des valeurs correctes à moins d’1% près. Le même genre de méthodes sera appliqueé en Inde (600 av. J.C.) ou en Chine (150 ap. J.C.).

Dans l’antiquité, on s’est visiblement rendu compte assez vite que le rapport du périmètre d’un cercle sur son diamètre était constant. Nous savons par ailleurs que les Egyptiens avaient compris que le rapport lié au périmètre d’un cercle et celui lié à l’aire du cercle étaient les mêmes.

pict

Le papyrus de Rhind conservé au British Museum (1800-1650 av. JC)

Nous ne savons pas si c’était le cas des Babyloniens, ni même si ces civilisations avaient conscience de n’avoir obtenu qu’une valeur approchée de p  . Il faut noter que la diffusion des connaissances étant plutôt réduite à cette époque, de nombreuses autres approximations, parfois bien plus mauvaises ont éclot même après la découverte de ces premières valeurs. Ainsi, après les Egyptiens et les Babyloniens, c’est un peu le vide... Les Chinois vers -1200 donnent 3 pour valeur, ce qui dénote tout de même un certain manque de recherches sur le sujet ! La Bible, manquant un peu d’inspiration divine pour l’occasion, fournit elle aussi 3 pour valeur de p  vers -550 av. J.C.. Le passage du fondeur Hiram et de son chaudron est resté célèbre, le voici en termes francisés : "Il fit aussi une mer de fonte de dix coudées d’un bord jusqu’à l’autre, qui était toute ronde : elle avait cinq coudées de haut et était environnée tout à l’entour d’un cordon de trente coudées". 30/10=3, pas d’erreur. On dira bien plus tard que le passage concernait le contour intérieur du chaudron pour calmer les polémiques, mais l’absence de besoin de précision pour les fondeurs semble être la seule justification... Heureusement, voilà les Grecs qui vont remettre un peu d’ordre...

1.2 Eureka !! : le principe d’exhaustion chez les grecs

Les mathématiciens grecs de l’antiquité sont souvent considérés comme les premiers à réellement se soucier des démonstrations. Les problèmes qui les occupaient restaient cependant majoritairement géométriques. Parmi eux, le problème de construire un carré de même aire qu’un cercle (la célèbre quadrature du cercle) fut initié, au moins historiquement, par Anaxagore de Clazomène (500-428 avant J.C.) pendant un séjour en prison pour impiété (il osait soutenir en particulier que la lune ne faisait que refléter la lumière du soleil ! Ça ne rigolait pas en ce temps là !). Si de nombreuses solutions furent alors proposées, le problème devint insoluble pendant 23 siècles quand Euclide ajouta comme conditions de le résoudre uniquement :

  1. à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas,
  2. en un nombre fini d’étapes (implicitement).

Le lien entre ces conditions et les propriétés algébriques des nombres qui en découlent ne fut proprement énoncé qu’en 1837 par Pierre Laurent Wantzel :

Theorem 1.1 Les nombres finiment définissables à l’aide de la règle et du compas sont les grandeurs définissables par opérations algébriques simples (addition, multiplication, extraction de racines...) autrement dit par radicaux.

Bien que les nombres définis par radicaux soient algébriques (racines de polynômes à coefficients dans Z  ), Abel montra en 1824 que tous les nombres algébriques ne sont pas toujours exprimables par radicaux dès que le degré du polynôme atteint 5, et Liouville démontra en 1851 l’existence de nombres non algébriques, i.e. transcendants. Le problème de la quadrature du cercle se ramena donc rapidement au milieu du XIXe siècle à celui de la transcendance de p  .

La distance qui séparait les conceptions géométriques grecques de l’expression formelle du problème de la quadrature du cercle explique la lente maturation des mathématiciens vers la démonstration finale et rigoureuse de la transcendance de p  en 1882 par Lindemann , qui clotura ce débat vieux de plus de 23 siècles !

Avec les outils dont disposaient les grecs, les solutions proposées à la quadrature du cercle faisaient la plupart du temps appel à un nombre infini d’étapes comme la quadratrice de Dinostrate, construite initialement par Hippias d’Elis vers 430 avant J.C., ou encore la méthode d’exhaustion.

Cette dernière est généralement attribuée à Antiphon (vers 430 avant J.C.) ou Eudoxe de Cnide (408-355 avant J.C.), et consiste à construire un polygone dont le nombre de côtés augmenterait jusqu’à ce qu’il devienne indiscernable du cercle. Cette brillante idée se heurte néanmoins au manque de notion de limite à l’époque. On sait aujourd’hui que ce n’est pas parce qu’une propriété est vraie pour tout n  entier qu’elle l’est à la limite (n -->  oo  ). Autrement dit, même si un polygone à n  côtés est quarrable, cela ne signifie pas que sa limite - le cercle - le soit aussi, contrairement à l’idée d’Antiphon. Le brillant Euclide (330-275 avant J.C.) écrit néanmoins qu’en considérant un polygone avec un grand nombre de côtés, on peut “rendre la différence entre l’aire à calculer et l’aire des polygones qu’on construit plus petite que toute quantité positive pré-assignée, aussi petite soit-elle” (d’après [12]), ce qui est une conception étonnament proche de la formalisation des limites dans les mathématiques du XIXe siècle. Il en déduisit d’ailleurs que l’aire du cercle était proportionnelle au carré de son diamètre (Elements 12.2).

pict

Deux pages des Éléments d’Euclide

pict

Euclide (365-300 av. J.C.)

Il faut cependant attendre Archimède  (287-212 avant J.C.) et son traité “De la mesure du cercle” pour que cette idée soit efficacement appliquée à l’évaluation de p  . Le premier de ses 3 théorèmes énonce que le rapport de l’aire d’un disque au carré de son rayon est égal au rapport du périmètre à son diamètre. Le troisième énonce explicitement que

pict

pict

Archimède (287-212 av J.C.)

Reprenant le principe d’exhaustion, il exhibe une relation formelle entre le périmètre du polygone à n  côtés et celui à 2n  côtés (voir page Archimède). Partant de deux hexagones respectivement inscrit et circonscrit, il obtient l’approximation 1 avec deux polygones à 96 côtés ! Ce calcul absolument sidérant fut mené sans aucune notation algébrique, numération cohérente (les grecs utilisaient une numération additive comme les romains), ni connaissance de la trigonométrie, et avec la seule géométrie d’Euclide. Il se formalise aujourd’hui comme suit : Soient an  et bn  les demi-périmètres des polygones à 3.2n  côtés respectivement circonscrit et inscrit à un cercle de rayon 1. L’hexagone fournit a1 = 2 V~ 3  et b1 = 3  . On a ensuite les formules de récurrence

        2a b                 V~ ------
an+1 = ---nn--   ,    bn+1 =  an+1bn
       an + bn
(2)

qui donnent p = limn-->o o  an = limn --> oo  bn  . Archimède poussa ses calculs jusqu’à n = 5  . Les cas n = 1  et n = 2  sont illustrés sur la figure ci-dessous.

pict

n = 1  et n = 2  de l’itération d’Archimède

La démonstration de la convergence et de l’adjacence des deux suites est immédiate si l’on remarque que             (   )
an = 3.2n tan  3p.2n et            (   )
bn = 3.2nsin 3p.2n . On obtient alors

               (    )(       (    ))     3     (   )
an- bn = 3.2ntan -p--  1- cos --p-   = -p---+ o  1-
                 3.2n          3.2n     18.4n      4n
(3)

ce qui assure un nombre de décimales correctes égal à 3n5-  itérations environ (3 décimales en 5 étapes). On qualifiera cette convergence de linéaire. Le rayonnement d’Archimède  était déjà tel pour l’époque, que Tropfke [25] affirme que la valeur pGrecs = 3+ 17  remplaça rapidement à Alexandrie la vieille valeur p  =(16)2
 9  , d’usage aussi aisé mais moins précise, et se répandit jusqu’en Inde et même en Chine au 5ème siècle après J.C. Ptolémée améliorera quelque peu le résultat au moyen de tables trigonométriques.

1.3 Voyage, voyage...

Après Archimède, la nuit mathématique tombe sur l’Occident pendant 1500 ans... Il est vrai que le système numérique des romains par exemple est peu propice aux calculs (tentez donc de multiplier LVIII par XCVI !) et ceux-ci ne vont donc pas laisser grand chose derrière eux côté ouvrages de mathématiques. Mais il se passe des choses ailleurs. Même si les mathématiciens asiatiques, arabes ou indiens se contenteront d’appliquer la même méthode qu’Archimède, ou une variante légère pendant près de 20 siècles, ils proposent des approximations toujours meilleures. Ainsi, en Inde, on travaille aussi puisque Aryabhata propose, vers 500 ap. J.C., 3 décimales exactes. Mais c’est en Chine où le système décimal a toujours été utilisé, que les progrès sont les plus rapides. Tsu Chung Chih semble être le premier à avoir proposé la fraction célèbre 355/113 = 3,14159292... vers 480 ap. J.-C. soit 6 décimales. Les Arabes et Perses ne sont pas en reste puisque dans son système Hexagésimal, Al Kashi calcule avec virtuosité 10 digits soit 14 décimales en 1429... Record absolu !

pict pict pict



Aryabhata (476-550)Tsu Chung-Chi (430-501)Al-Kashi (1390-1450)



Mais la notation décimale commence lentement à s’imposer en Europe au Moyen Âge et c’est alors tout naturellement que l’Occident se réveille : c’est Fibonacci, l’un des seuls grands mathématiciens de l’époque et adepte de la notation décimale, qui s’illustre tout d’abord et obtient p  =3,1418... mouais...

pict

Fibonacci (1175-1250)

Notons aussi que l’on ne cernait pas encore précisément le côté transcendant de Pi (mais c’est un peu normal...) puisque Nicolas de Cues  propose au XVe siècle

      3 ( V~ -   V~ -)
p  =  4    3+  6 ~ -  3.136                           (4)
Regiomontanus démontrera (!) que cette valeur est erronée... Nicolas de Cues  avait utilisé une variante de la méthode d’Archimède.

pict

Nicolas de Cues (1401-1464)

De temps en temps, certains tentent cependant l’originalité. Ainsi, Descartes  (1596-1650) prend le problème carrément à l’envers et propose sa méthode des isopérimètres qui fait non plus évoluer le périmètre des polygones mais bien le diamètre de ces polygones, dont le périmètre est alors fixé. Viete dérive également un premier produit infini en 1593 (sans le démontrer, mais bon, ce n’est guère l’époque !) en se penchant sur l’aire et non plus le périmètre:

      V~ 2- V~ -2---  V~ ---2-------
p = 2  2  2 +  V~ 2      V~ --- V~ -
                  2 +   2+  2
(5)

Mais la convergence est si lente qu’il préfère encore utiliser la méthode d’Archimède  pour calculer lui-même 9 décimales en 1593.

pict pict


René Descartes (1596-1650)Viete (1540-1603)


Avec simplement 1000 ans de retard sur les Chinois et Tsu Chung Chih, mais c’est son nom qui est resté, Adrian Anthonisz fait la moyenne des valeurs d’encadrement calculées par Archimède  et retrouve 355/113=3.14159292... C’est en tout cas ce que nous rapporte son fils qui a publié le résultat en 1625. Ces valeurs semblaient tenues pour exactes pour p  . Depuis les grecs, on savait qu’il existait des nombres plus compliqués que les rationnels (irrationnels) comme  V~ -
  2  . On sentait sans doute que p  était d’une nature encore plus complexe, mais on tentait tout de même de l’exprimer en fonction de nombres simples. Pendant ce temps, la numérotation décimale fait vite progresser la course aux décimales qui devient un sport en vogue et les records ne quittent plus l’occident...

Poussant le calcul plus loin qu’Archimède, le record en la matière appartient à Ludolph Van Ceulen (1539-1610), qui exhiba 20 décimales en 1596 à l’aide de polygones à    33
60.2  = 480  milliards de côtés, puis 32 décimales à l’aide de polygones à  62
2  côtés dans une publication posthume de 1615, pour enfin se voir attribuer et graver sur sa pierre tombale 35 décimales en 1621. Quelle obstination ! Autant dire qu’il passa sa vie à cet exercice, avec pour récompense que p  est appelé le nombre de von Ceulen en Allemagne !

pict

Ludolph Van-Ceulen (1540-1610)

En fait il n’y eut guère de progrès réel pendant cette période essentiellement à cause de l’utilisation exclusive de l’approche géométrique, qui trouvait là ses limites dans le calcul des décimales de p  .

La quadrature du cercle continue, elle, à poser de véritables problèmes... Sortant de l’ère géométrique qui n’en a pas donné de solutions, l’analyse va s’y pencher, et on le verra, avec succès. Notons que l’Académie des Sciences en France, ayant promis une récompense pour la solution, reçoit à cette époque plusieurs dizaines de preuves erronées. Comme le dit "Le petit Archimède", la palme revient dans ce domaine à un nommé Liger qui commmençait par démontrer que  V~ --   V~ --
  24 =  25  , le reste suit...

2 Ah enfin l’analyse ! (XVIIIe siècle - fin XIXe siècle)

Le grand tournant eut lieu avec la manipulation de plus en plus courante de sommes et de produits infinis dans le monde mathématique de la fin du moyen-âge.

2.1 Le temps des querelles

A cette époque, de violentes querelles apparaissent: une des plus célèbres concerne Leibniz  (1646-1716) et Newton  (1642-1727) qui se disputent la paternité de la découverte du calcul différentiel et perdent beaucoup d’énergie... Il n’en reste pas moins que malgré le scepticisme de certains (Rolle, par exemple, qui ne croit pas en cette révolution et va se fâcher avec Varignon, mais n’en fournit pas moins un des théorèmes les plus célèbres de cette théorie), le calcul différentiel va bouleverser les mathématiques... Les résultats apparaissent rapidement et la recherche sur p  va en bénéficier comme aucune autre. C’est la première fois que des formules ne traduisent plus directement le lien entre la géométrie par laquelle on définit p  et p  lui-même. C’est d’ailleurs une des choses qui à mon avis fascinent le plus dans l’étude de p  . On a affaire à de grosses formules dans lesquelles il est bien difficile de reconnaître une propriété géométrique, et pourtant on obtient p  . Et la prime à la recherche d’une solution concernant le fameux problème de la quadrature du cercle offerte par l’académie des Sciences engendre un intérêt toujours grand sur la géométrie. Mais tout cela ne s’est pas fait en un jour :

2.2 Le prémices de l’analyse

Si il y a un mathématicien qui symbolise un peu ce passage de la géométrie à l’infinitésimal ou à la conscience de l’infini, c’est Wallis  (1616-1703).

pict pict


Wallis (1616-1703)Lord Brouncker (1620-1684)


Ses manipulations de suites infinies et ses recherches sur l’aire d’un quart de cercle (en partant de l’intégrale de (1 - x2)n  pour arriver à n = 1/2  ) le poussent vers des horizons encore inconnus jusqu’alors. Après une démonstration restée célèbre en raison de ses méandres, il trouve ainsi une très belle formule, le premier produit infini de rationnels convergeant vers Pi :

      oo 
p = 2  prod --4n2--
     n=14n2- 1
(6)

La convergence est éxécrable, mais c’est peut-être la première véritable suite convergeant vers p  sortie de l’analyse. Lui succède alors Lord Brouncker  (1620-1684), un ami de Wallis, qui, sur sa demande, continue les recherches vers les fractions continues et transforme le résultat de Wallis  en un célèbre développement de 4p  qui donne :

          1
p = 4------12----
     1+ 2+--3252-
          2+2+...
(7)

Tout cela tourne beaucoup autour de l’infinitésimal mais ce n’est qu’avec le calcul différentiel que vont vraiment s’épanouir ces techniques.

2.3 Les premières séries

Bien avant les européens, on attribue aux indiens les premières expressions de p  sous forme de série puisque l’on trouve déjà dans les écrits en sanscrit des disciples de Nilakantha Somayaji (1444 - 1545 !) la formule

         oo 
p =  V~ 12  sum --(-1)n--
        n=0 (2n+ 1)3n
(8)

parmi huit autres. Sa simplicité et sa rapidité de convergence (environ n
2  décimales correctes pour n  termes) aurait déjà pu mener les mathématiciens de cette époque à connaitre des dizaines de décimales de p  ! Pourtant, à cette époque, comme on l’a vu plus haut, c’est Al Kashi  de Samarkande qui vient de réussir le tour de force de calculer 14 décimales de p  en 1429 à l’aide d’une variante de la méthode d’Archimède  et en système sexagésimal.

En Europe, c’est la guerre ! Newton  et ses fluxions contre Leibniz  et ses dx-
dy  ... L’un comme l’autre ont au moins le mérite d’avoir eu la vision d’un des bouleversement des mathématiques. L’application du calcul différentiel permet enfin d’obtenir ou justifier les développements limités en série infinie des fonctions usuelles (via par exemple la célèbre formule de Taylor). A cette époque, James Gregory (1638-1675) fait ainsi profiter l’Europe de la découverte du développement en série entière de la fonction arctan

            oo      n 2n+1
arctan(x) =  sum  (--1)-x----.
          n=0  (2n+ 1)
(9)

L’application de x = 1  donne immédiatement une série pour Pi, mais, bizarrement, Gregory passe à côté (ou plus probablement, n’y voit pas d’intérêt) et celle-ci ne se retrouve que dans l’oeuvre de Leibniz. En 1671, c’est Abraham Sharp (1651-1742) qui utilise le cas particulier          (   )
p = arctan  1 V~ --
6           3 , autrement dit l’équation 8, pour obtenir 71 décimales correctes de p  en 1699, près de 200 ans après Nilakantha ! Le développement d’arcsin fut obtenu par Newton vers 1665-1666, qui en profita pour calculer 15 décimales de p  , n’ayant “rien d’autre à faire” comme il l’affirma lui-même.

pict

Newton (1642-1727)

La fonction arctan est un bon candidat pour le calcul des décimales de p  à la main car si l’on s’y prend bien, on n’utilise que des termes rationnels ou au plus une racine comme dans 8. Ainsi John Machin  (1680-1752) parvient aisément à 100 décimales en 1706 en proposant la désormais célèbre formule

           (  )        (    )
p-= 4.arctan  1  - arctan  -1-  .
4            5           239
(10)

pict

John Machin (1680-1752)

La démonstration ou la recherche de ce type de formules (dont quatre autres exemples sont donnés plus loin par les équations 12, 13, 23 et 24) s’obtient grâce à la règle suivante

Theorem 2.1 Soient a1,a2, ... , ap  et b1,b2, ... , bp  des entiers.            (  )
 sum p  arctan  bj  = kp
  j=1       aj  , k  (-  Z  , si et seulement si    ( prod p          )
 I m   j=1(aj + i.bj) = 0  .

Proof. Si cj = aj + i.bj  (-  C  ,   ( prod p          )    sum p
ln   j=1 (aj + i.bj) =   j=1 [ln(| cj|)+ i.(arg(cj)+ 2kjp)]     sum p  [          (      (bj)       )]
 =  j=1 ln(|cj|)+ i. arctan aj  + 2kjp , kj  (-  Z  . En conséquence     prod p
x =  j=1(aj + i.bj)  (-  R  ssi  E kx  (-  Z  tel que ln(x) = ln (| x| ) +i.kx.p  , ssi  E k  (-  Z  tel que            (  )
 sum p  arctan  bj  = kp
  j=1       aj  .  __

La rapidité de convergence de ces formules est contrainte par le plus grand terme bj
aj  et d’après l’eq. 9, on obtient une convergence linéaire, autrement dit un nombre aŚ n  de décimales en utilisant n  termes du développement de Taylor de la fonction arctan  . Désormais, les combinaisons d’arctan vont servir de base à la course aux décimales jusqu’en 1985 !

2.4 Le seigneur des séries

Après que la prédominance mathématique se soit installée en Angleterre sous l’impulsion de Newton, celle-ci revient sur le vieux continent, en Suisse notamment avec les Bernoulli  et Euler. C’est la grande époque de l’analyse. Euler  fouille partout et défriche inlassablement pour nous fournir d’innombrables formules. La plus belle est certainement :

 oo  sum        2
   -1 = p--
n=1n2    6

qui n’apporte guère au calcul des décimales mais dont la simplicité est tout à fait remarquable.... Sa démonstration (voir page Euler) est un modèle du genre, absolument pas rigoureuse, mais tout à fait géniale !

pict

Euler (1707-1783)

Un siècle plus tard, un des mathématiciens qui selon moi va indirectement apporter le plus à la recherche sur p  est Joseph Fourier  (1768-1830). Sa théorie sur la décomposition d’une fonction périodique en série, encore à finaliser mais qui va faire l’objet d’un passage à la rigueur tout au long du XIXe siècle, est véritablement révolutionnaire (tant d’ailleurs que certains mathématiciens de l’époque comme Poisson s’élèveront contre avec beaucoup d’énergie !). Ce résultat permet en effet de redémontrer simplement à peu près toutes les formules de ce bon vieux Euler. Et bien sûr d’en trouver de nouvelles assez intéressantes.

2.5 p  , probablement...

p  , ce n’est pas seulement la géométrie et l’analyse ! Buffon  (1707-1788) nous prouve avec son célèbre problème de l’aiguille que p  intervient aussi dans le domaine des probabilités. Bien sûr, ce résultat est toujours dû à la définition de p  comme composante de l’aire et du périmètre du cercle, mais le théorème de Cesàro (1859 - 1906) confirmera l’incursion de p  dans les probabilités...

pict pict


Buffon (1707-1788)Cesàro (1859-1906)


2.6 Le défi

Revenons à notre course chronologique. À partir de Newton, ce sont - sans leur faire injure - plutôt des mathématiciens de second plan qui se battent pour le record de décimales. D’ailleurs, le nombre de décimales déjà calculé en ces temps est bien supérieur aux véritables besoins des mathématiciens et des physiciens. On estime en effet que pour calculer la circonférence de l’univers avec la précision d’un atome d’hydrogène, seules 39 décimales de p  sont requises ! Les motivations sont donc plutôt tournées vers la recherche de périodicités ou motifs dans les décimales de p  . La périodicité des décimales d’un nombre en fait un rationnel (nombre s’écrivant comme une fraction ab  , a  , b  entiers). Pourtant, à l’aube du XVIIIe et du XIXe siècle, le problème de l’irrationnalité de p  , autrement dit l’impossibilité d’écrire p  sous la forme d’un rationnelle, tracasse toujours les mathématiciens. Ils la soupçonnent vraie depuis longtemps mais n’avaient jamais réussi à la prouver. Avec les progrès de l’analyse, Euler  montre celle de e  et Johann Lambert (1728-1777) apporte une réponse au problème pour p  en 1761. Sa démonstration plutôt lourde s’appuie sur un développement en fraction continue de la fonction tan  . Pi est bien irrationnel !

pict

Lambert (1728-1777)

Voilà en fait le résultat peut-être paradoxalement le plus important que l’on ait trouvé sur la répartition des décimales de Pi tant cette dernière demeure un mystère encore de nos jours. L’irrationnalité indique ainsi qu’elles ne sont pas périodiques...

Restait la transcendance, autrement dit l’impossibilité de représenter p  comme une combinaison de racines et de puissances d’entiers, ou en terme équivalents, le fait que p  ne soit racine d’aucun polynome à coefficients entiers, ou bien encore l’impossibilité de la quadrature du cercle. Malgré les efforts de beaucoup de mathématiciens (et amateurs qui cherchent toujours à résoudre la quadrature du cercle !), cette citadelle reste imprenable jusqu’à la fin du XIXe siècle. Et les délires des mathématiciens amateurs obligent de plus l’académie des Sciences à refuser à partir de 1775 les tentatives de démonstration de la quadrature du cercle, conséquence immédiate de la transcendance.

2.7 p  tombe dans l’ombre

Le XIXe siècle arrive... Bizarrement, le plus brillant représentant du génie scientifique de ce siècle, Maître Gauss  (1777-1855), malgré son talent incomparable, n’est pas celui qui s’intéressera le plus à la recherche sur p  , au moins pas directement. On lui doit quelques petites formule d’arctan, mais pas de quoi se rouler par terre !

Bien que Pi continue à apparaître dans de nombreux résultats, le XIXe siècle se tourne plutôt vers l’algèbre et l’arithmétique avec Galois, Abel, Sophie Germain et les tout nouveaux théoriciens de la géométrie non euclidienne tels Gauss, Beltrami, Lobatchevski et Bolyai. Le calcul des décimales semble aussi s’essoufler après la deuxième moitié du XIXe siècle. Tout cela malgré le talent extraordinaire de Zacharias Dase, et l’ardeur de quelques passionnés comme Shanks. Employé par Strassnitsky pour calculer 200 décimales, ce qu’il fit en deux mois, Dase était l’annonciateur des ordinateurs modernes par ses fantastiques capacités de calcul (il pouvait multiplier de tête deux nombres de 100 chiffres en 8h, en faisant des pauses, ou bien dormant une nuit entière, et reprenant plus tard !) . Il faut dire que les limites humaines de calcul des décimales à la main semblent atteintes en 1874 avec l’obtention de 707 décimales par Shanks, qui sont d’ailleurs fausses à partir de la 528`eme  . Ferguson le remarquera près de 70 ans plus tard en les comparant aux 808  qu’il obtint en 1948, avec les premières machines à calculer (des additionneurs en fait, hérités du principe de celle construite par Leibniz dès 1694). Une erreur qui aura donc durée 92 ans ! La salle du palais de la découverte à Paris qui arborait fièrement le résultat de Shanks en fut quitte pour une rapide rénovation !

pict

La salle consacée aux mathématiques du Palais de la Découverte à Paris.

Et depuis les formules d’arctan, on n’a toujours pas trouvé à cette époque un moyen d’aller plus vite et plus loin en théorie comme en pratique...

De plus, le plus vieux problème mathématique se trouve résolu par Lindemann en 1882 lorsqu’il démontre la transcendance de p  . La quadrature du cercle est donc impossible... Comment va-t-on sortir de cette impasse et se remotiver ?

C’est qu’au fin fond de l’Inde grandit en cette fin de XIXe siècle un personnage qui va tout bouleverser et révolutionner le siècle à venir... L’ère des algorithmes et de l’informatique va commencer avec lui...

3 L’ordinateur prend le relais

3.1 Le souffle Indien

Durant la première moitié du XXe siècle, les préoccupations mathématiques sont encore ailleurs. Les théories élaborées par Cantor, Gödel, Kolmogorov, la topologie et la liste des 23 problèmes de Hilbert ouvrent tout à coup des horizons qui donnent un coup de vieux à l’analyse classique. Celle-ci semblait pourtant avait trouvé son évolution naturelle dans l’étude des intégrales elliptiques menées par Legendre, puis Gauss, Abel et Jacobi durant la première moitié du XIXe siècle.

Heureusement un génie né au fin fond de l’Inde en 1887, Srinivasa Ramanujan  (fig. ??), va se charger de donner un souffle nouveau aux recherches menées autour de p  .

pict

Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920).

Lui-même passionné par cette constante, c’est un autodidacte complet qui passa les 25 premières années de sa vie à reconstruire les mathématiques à partir d’un unique ouvrage de 6165 théorèmes sans démonstration (“Synopsis of elementary results in pure and applied mathematics” de G.S.Carr). Cet état d’esprit le conduisit à énoncer la plupart de ses résultats sans démonstration (ce qui ne signifie pas qu’il ne comprenait pas d’où ils venaient !). Doté d’une intuition exceptionnelle qui lui permit de progresser à pas de géants dans la théorie des nombres et des équations modulaires, il découvrit des formules venues d’ailleurs comme celle-ci publiée en 1914

         (                     ) -1
    9801   sum  oo  (4n)!(1103-+-26390n)
p =   V~ 8         (n!)4(396)4n        .
          n=0
(11)

Il existe une anecdote célèbre à propos de cette formule : sa démonstration presque entière fut achevée au début des années 80 par les frères Borwein  [7].

pict pict


Frères Borwein


Il restait le coefficient 1103 à justifier, il devait être entier, mais la longueur des calculs et équations requises était épouvantable. Gosper  effectua alors en 1985 un calcul “à l’aveugle” de 17 millions de décimales de p  à l’aide de cette formule. Aussi vrai que deux entiers proches de moins d’une unité sont égaux, la concordance des résultats du calcul de Gosper  avec les 10 millions de décimales déjà connues à l’époque constitua une démonstration finale de la formule de Ramanujan  ! On suppose que Ramanujan  avait du procéder de même sur quelques décimales.

Les Borwein  tireront des travaux de Ramanujan  une ribambelle d’algorithmes remarquables assez largement utilisés de nos jours dans le calcul des décimales de p  (voir paragraphe 3.5). La complexité de la démonstration d’une telle formule est telle que malheureusement même un survol des résultats, sans démonstration des intermédiaires, occupe au minimum une dizaine de pages dans le remarquable ouvrage [13]. Le lecteur intéressé par une plongée dans l’univers passionnant des équations modulaires, corps quadratiques, et autres intégrales elliptiques pourra se référer à la ”Bible” [7], d’une pédagogie remarquable.

Ramanujan  fut repéré par le mathématicien anglais Hardy auquel il avait écrit une lettre en 1913, s’embarqua pour l’Angleterre en 1914 et leur collaboration fructueuse dura jusqu’en 1919.

pict

Hardy (1877-1947)

Il repartit alors en Inde où il mourut l’année suivante, probablement de carences en vitamines. Considéré comme un des plus grands génies du XXe siècle, Ramanujan  a laissé des carnets remplis de formules en notations non-standards, dont le déchiffrage s’est poursuivi jusqu’à nos jours (!), d’abord assuré par Bruce Berndt, puis par les frères Borwein.

3.2 La course aux décimales reprend

Après Ramanujan  qui meurt prématurément en 1920, c’est le désert théorique... jusqu’en 1976. Donc, pendant ce temps, on calcule... Après la guerre, l’avènement des machines à calculer fait progresser la course aux décimales à pas de géants ! Ferguson ouvre le bal en 1946 en obtenant 620 décimales à l’aide d’un calculateur de bureau. Le premier calcul sur ordinateur est confié au fameux ENIAC en 1949 qui rend 2037 décimales en 70 heures à l’aide de la formule de Machin 10.

pict

L’ENIAC

En 1973, Guilloud et Bouyer atteignent le premier million de décimales sur CDC 7600 à l’aide de deux formules d’arctan  célèbres, celles de Gauss  12 et de Störmer 13

p           ( 1 )          ( 1 )          (  1 )
4-= 12.arctan  18  + 8.arctan  57  - 5.arctan  239
(12)

           (  )          (   )        (    )
p-= 6.arctan  1  + 2.arctan  1-  + arctan  -1-
4            8             57           239
(13)

Le calcul en binaire prit respectivement 22h11 et 13h40, et la conversion en base décimale 1h07. Un livre de 415 pages de décimales tiré de ce calcul fut qualifié à l’époque de “livre le plus ennuyeux du monde” !

Il faut noter que le processus attaché à la course aux décimales est toujours le même jusqu’à aujourd’hui : les calculs sont effectués avec deux formules distinctes puis comparés pour validation du record. Les figures 1 et 2 montrent l’évolution des records de calcul de décimales de p  au cours des siècles.


PIC


Figure 1: Nombre de décimales calculées à la main dans l’histoire. Les échelles sont logarithmiques.



PIC


Figure 2: Nombre de décimales obtenues à l’aide de calculateurs ou d’ordinateurs au XXème siècle. L’échelle des décimales est logarithmique.


3.3 Zorro est arrivééé : améliorations algorithmiques

A cette époque, le manque d’algorithme de multiplication efficace oblige à segmenter chaque nombre en tranches, par exemple B = B21020 + B11010 + B0  . La multiplication de nombres de taille n  nécessite alors un temps (ou nombre d’opérations) proportionnel à n2  sans compter l’utilisation mémoire proportionnelle à n  . Sans des améliorations théoriques et algorithmiques, la progression du record de décimales aurait donc été très lente. C’est alors à cette époque que les choses s’accélèrent.

En 1965, Cooley et Tukey introduisent sous sa forme moderne une méthode de réduction de la complexité du calcul des séries de Fourier  connue aujourd’hui sous le nom de Transformée de Fourier  Rapide [11]. Schönhage et Strassen en tirent un algorithme de multiplication de grands entiers en compexité O (n.log(n).log(log(n)))  ce qui est considérablement mieux que  (  )
O n2 [24] !

En 1976, Salamin et Brent  parviennent indépendamment au même algorithme ([238])

pict

qui a une propriété extraordinaire de convergence quadratique, autrement dit le nombre de décimales exactes double à chaque itération. En effet, Salamin  montre dans [23] que si U
 n  est l’approximation de p  après n  itérations de l’algorithme 14, on a

           p22n+4   -p2n+1
|p - Un|< ---(----)2e      .
         M   1, V~ 12
(16)

Cette majoration montre que le nombre de décimales correctes de p  obtenues à partir de Un  est strictement supérieur à (     )                     (        )
  -p-- 2n+1- n log  2- 2 log   ---4p V~ -
  log10           10       10 M(1,1/ 2) . M  désigne ici la moyenne arithmético géométrique (voir page Salamin).

pict

Richard Brent

Ajoutons enfin que l’algorithme de Newton, proposé vers 1669 (!), ramène la division et l’extraction de racines carrées à des multiplications et propose une convergence elle aussi quadratique. Autant dire que tous les ingrédients sont réunis pour faire exploser les records !

3.4 Compèt’ sur la planète

La compétition reprend en effet en 1981 avec l’équipe de Kanada qui fut probablement la première à appliquer ce cocktail d’algorithmes (FFT , Newton, Brent-Salamin). Myioshi et Kanada obtiennent 2 000 036 décimales en 1981. À partir de ce moment, le rythme s’accélère franchement, puisque le pauvre Guilloud, qui tente de garder son record en 1982 en calculant 14 décimales de plus que le couple japonais, se trouve hors du coup à la fin de l’année 1982, où l’on connait 16 777 206 décimales (Kanada, Yochino et Tamura). La lutte concernera ensuite principalement Kanada et, entre 1991 et 1994, les deux frères David et Gregory Chudnovsky  qui utiliseront une série de leur cru de type Ramanujan  et un ordinateur dont ils ont eux-même conçu l’architecture. Selon la légende, leur appartement New-Yorkais contient des montagnes de papiers en désordre et est chauffé aux microprocesseurs ! Ces mathématiciens isolés mais au talent reconnu (Gregory est considéré comme un génie exceptionnel mais il est atteint d’une maladie l’empêchant de travailler en université) montrent au moins que des scientifiques de tout premier plan s’intéressent au calcul des décimales de p  [12].

3.5 Une avalanche de formules

Les années 80 voient l’éclosion de plusieurs formules très intéressantes concernant p  . Il y a les formules de type Ramanujan, des séries infinies convergeant linéairement mais assez rapidement pour qu’elles soient utilisées dans les records. Celles-ci sont retrouvées et expliquées grâce au décryptage des carnets de Ramanujan  par Bruce Berndt et aux travaux des frères Borwein  et Chudnovsky.

D’autre part, à partir d’équations modulaires impliquant les thêta fonctions (dont l’algorithme de Brent-Salamin  est un cas particulier), les frères Borwein  ont montré que l’on pouvait construire des algorithmes convergeant à n’importe quelle vitesse (quadratique, quartique, quintique...) vers Pi même si la complexité des calculs augmente en conséquence. Un bon compromis semble être la formule suivante, à convergence quartique [7] :

pict

Elle fut utilisée pour la première fois par Baileypuis Kanada en 1986. Bailey  utilisa 12 itérations sur un CRAY-2 pour calculer 29 360 000 décimales de p  (en fait 45 millions sont possibles à cette étape). Il est amusant de constater qu’il suffit alors de moins de 100 multiplications, divisions et extractions de racines pour y parvenir !

De 1982 à 2002, ce sont toujours des formules de Ramanujan  (comme 11), l’algorithme de Brent-Salamin  (14) ou une variante, ainsi que l’algorithme quartique des Borwein  (17) qui ont été utilisés dans la course au record de calcul de décimales de p  . Le premier milliard est atteint par les frères Chudnovsky  en 1989 et, avec cette méthode, Kanada, toujours lui, atteint 206 milliards de décimales de p  en 1999. Bien sûr, Pi ayant un nombre infini de décimales, ce n’est même pas une goutte d’eau, mais les mathématiciens espèrent toujours remarquer, comme les frères Chudnovsky , quelque irrégularité ou propriété dans les décimales de notre constante favorite...

pict

Frères Chudnovsky

pict

De gauche à droite, Salamin, Kanada, Bailey et Gosper en 87. Ah, les soirées délirantes entre potes sur p  !

4 L’approche BBP, encore du nouveau sur p

4.1 Comment progresser ?

La multiplication, la division et l’extraction de racine s’effectuant désormais dans un temps quasi-linéaire, et sachant que l’on ne peut pas descendre en dessous d’une complexité O(n)  , il ne faut plus guère attendre d’avancées significatives de ce côté. Nous avons vu que des algorithmes extrêmement efficaces existaient pour le calcul des décimales de p  . Alors est-on condamné à voir les records tomber en fonction de la progression des performances des ordinateurs ? Oui et non !

Les mathématiques surprennent souvent là où on ne les attend plus. C’est ainsi que le 19 septembre 1995 à 0h29 (!), après des mois de recherches à tâtons, Simon Plouffe, David Bailey  et Peter Borwein  de Vancouver découvrent la formule apparemment simple et anodine

      oo     (                              )
p =  sum  -1-   --4---  --2---- --1---- --1---
    k=016k   8k + 1   8k+ 4   8k+ 5   8k+ 6
(18)

appelée depuis formule BBP. La démonstration en est presque immédiate en remarquant que  sum                V~   sum     integral   V~ -            V~ -  integral   V~ 
 o o k=0 16k(18k+p)-= 2p o o k=0 01/ 2xp-1+8kdx =   2p 10/ 2x1p--x18dx  puis en calculant l’intégrale équivalente à 18. Euler  aurait lui-même pu la découvrir. En fait, c’est à ce jour un des plus célèbres exemples de mathématiques expérimentales puisque cette formule fut découverte par l’algorithme PSLQ de recherche de relations linéaires entre nombres. Ceci encouragea nombre d’amateurs en mathématiques à se lancer dans la recherche de telles formules grâce à PSLQ ou LLL, un algorithme similaire implémenté dans le logiciel Pari-GP.

pict

Simon Plouffe

Mais nos trois mathématiciens canadiens remarquent surtout que cette expression est très proche d’une décomposition en base 16 de p  . Dans l’article [3] de 1996 devenu célèbre, ils montrent que l’on peut se servir de 18 pour atteindre le n  -ième digit de p  en base 2p  (a fortiori en base 16) sans avoir calculé les précédents, ceci en temps presque linéaire O(n.log3n  ) et en espace O(logn)  !! L’espace requis étant minime, ils appliquent immédiatement ce résultat en calculant le 40  milliardième digit de p  en base 2. La révolution est en marche.

Plouffe  étend ce résultat à toutes les bases b  en octobre 1996 [22] au prix d’un temps O(n3 log2 n)  et de l’utilisation astucieuse de la série

        oo  sum  k.2k(k!)2
p+ 3 =      (2k)!  .
       k=1
(19)

Des améliorations en     2
O(n )  puis en    2           2
O(n loglog n/log n)  sont successivement proposées par Bellard  en 1997 [5] puis Gourdon en 2003 [14]. De nombreuses autres formules type BBP ( avec des puissances de 2  ou 3  ) ont depuis vu le jour pour les logarithmes d’entiers, z(3)  , z(5)  , la constante de Catalan G  , et de manière générale les constantes polylogarithmiques [917]. Par contre, il n’existe probablement pas de formule pour p  avec une puissance de 10  , autrement dit en base 10  . La formule   (9-)     sum o o  -1--
ln 10 = -   k=1 10k.k  montre cependant que l’on peut calculer isolément les chiffres décimaux de certaines constantes.

Ces résultats fondamentaux montrent en particulier que p  appartient à la classe de complexité de Steven SCb  , regroupant les constantes dont on peut calculer les chiffres en base b  en temps polynomial et espace log  -polynomial, ce qui était auparavant jugé improbable du point de vue mémoire.

Depuis lors, Fabrice Bellard, un étudiant français Polytechnicien, réussit à atteindre le 1000 milliardième digit en septembre 1997. Puis Colin Percival a atteint le   15
10  -ème digit binaire de p  (un 0  !) au moyen d’un calcul collaboratif extravagant sur internet de 1.2 millions d’heures CPU partagées entre 1734 ordinateurs répartis dans 56 pays entre le 5 septembre 1998 et le 11 septembre 2000 !

Le principe de ce calcul du n  -ième digit de p  est donné a la page N-ième digit.

4.2 Une formule pleine de ressources

L’accès presque direct aux digits de ces constantes a fait naître chez les mathématiciens l’idée que l’on pourrait trouver des propriétés de répartition de ces digits, et que l’on était peut-être proche d’une preuve de la normalité de p  (et donc de l’irrationnalité de la constante de Catalan G  ou des z  impairs). La normalité d’un nombre requiert que chaque n  -uplet possible apparaisse avec la probabilité b1n  dans les digits en base b  de ce nombre. Genre chaque chiffre entre 0  et 9  apparaît en moyenne 1 fois sur 10  , chaque nombre entre 0  et 99  apparaît 1 fois sur 100  , et ainsi de suite. En octobre 2000, Bailey  et Crandall ont réduit cette condition de normalité à la vérification de l’hypothèse suivante :

Conjecture 4.1 Soit       p(n)
r(n) = q(n)  (-  Q(n)  , n > 0  , avec deg p < degq  et r  sans pôles sur N  (c’est la partie polynômiale des formules BBP). Soit une base b > 2  et x0 = 0  . Alors la suite (xn)n (- N   définie par

xn = (b.xn-1 +rn) (mod 1)
(20)

a un attracteur fini ou est équidistribuée sur [0,1]  .

pict

Richard E. Crandall

Cette forme de suite est équivalente à la représentation BBP d’une constante puisque si      sum o o 
a =   k=1b1kr(k)  , alors {bna}=  (xn + tn) mod 1       sum o o 
tn =  k=1 1bkr(k + n)  tend vers 0 si n -->  oo  puisque degp < degq  .

La condition d’atracteur fini représente intuitivement le fait pour une séquence de d’approcher toujours d’un ensemble de valeurs finies à partir d’un certain rang, et dans n’importe quel ordre, comme si l’on tendait vers un rationnel généralisé (dont les séquences de décimales sont périodiques).

Definition 4.2 Précisément, une suite (xn)n (- N  (-  [0,1]  possède un attracteur fini W = {w1,w2,...,wP} s’il existe e > 0  et K = K(e)  tel que pour tout k > 0  ,

||           ||
||xK+k - wt(k)|| < e  avec   1 < t(k) < P.
(21)

On peut d’ailleurs montrer que dans le cas qui nous intéresse (formules BBP), cette propriété est équivalente à la rationnalité de la limite de xn  [4]. La notion d’équidistribution est plus intuitive. Elle est vérifiée si la proportion d’apparition d’une séquence à valeurs dans [0,1]  dans un intervalle donné [c,d]  est justement la longueur de cet intervalle, bref si les valeurs prises sont distribuées uniformément dans [0,1]  . (xn)n (- N   est équidistribuée si

lim  Card-{xj  (- -[c,d], j-<-n} = d- c.
n--> oo           n
(22)

L’équidistribution pour ce type de séquences implique la normalité [19]. Compte-tenu de la variété des constantes impliquées dans des représentations BBP, on touche là à des avancées importantes, notamment pour les z  impairs. Il est amusant de voir la simplicité de la formule BBP dont sont tirées toutes ces conséquences. On consultera [420] pour approfondir ces questions ouvertes.

5 Une quête sans fin ?

5.1 Record en date

Le 6 décembre 2002. Kanada, compétiteur infatigable qui détient ou reprend le record de calcul de décimales de p  depuis plus de 20 ans, a calculé 1 241 100 000 000 décimales de p  . La surprise est venue du fait qu’il a utilisé cette fois deux formules de type Machin  comme l’eq. 10.

Ce retour à des formules étonnament simples après l’utilisation pendant une quinzaine d’années des algorithmes de Brent-Salamin, des Borwein  ou des séries de Ramanujan  et Chudnovsky  était vraiment inattendu. Il semble que l’utilisation perpétuelle de racines, multiplications et divisions nécessitait l’utilisation de la transformée de Fourier  rapide (FFT) à très grande échelle. Cette dernière requiert énormément de mémoire pour fonctionner. Kanada est donc revenu à des méthodes plus sages comme les formules type Machin, qui nécessitent sensiblement plus d’opérations arithmétiques mais moins de FFT et donc beaucoup moins de mémoire. Kanada estime que son implémentation est environ deux fois plus plus rapide que la précédente qui utilisait l’algorithme 14 de Brent-Salamin  et celui d’ordre quartique des Borwein  (eq. 17). Les calcul ont été effectués en base hexadécimale, soit 1 030 700 000 000 digits. Les formules employées sont :

pict

La première a été trouvée en 1982 par un professeur de mathématiques et compositeur, Takano, et la seconde est une découverte de Störmer en 1896.

Ce calcul de Kanada recèle une seconde originalité : comme le résultat avait été obtenu en base 16  , après avoir vérifié l’adéquation entre les deux calculs, il a effectué une vérification supplémentaire en calculant directement les 20 digits hexadécimaux à la position 1 000 000 000 001 à l’aide de l’approche par formules BBP présentée précédemment. Le résultat B4466E8D21 5388C4E014, qui a requis 21 heures de travail, a parfaitement correspondu aux calculs effectué à l’aide des formules d’arctan  . Les digits hexadécimaux ont alors été convertis en base dix, une opération peu triviale d’ailleurs, reconvertis en hexadecimal pour vérification, puis le record a été officialisé [2].

Les calculs (tout compris) ont duré près de 600 heures sur un HITACHI SR8000/MP doté de 1TB de stockage (1024Go), soit la même mémoire que pour son précédent record de 1999, alors que 6 fois plus de décimales ont été calculées !

5.2 Perspectives et motivations

Comment expliquer que la course aux décimales reste d’actualité ? Les motivations pour battre le record de décimales de p  n’ont en fait jamais manquées, confinant même parfois à un soupçon de mauvaise foi. On citera pêle-mêle le test des ordinateurs (un bug aurait été découvert par Bailey  lors de son record de calcul en 1986 sur des Cray-2), l’hypothétique apparition d’irrégularités dans la répartition des décimales calculées (chou blanc de ce côté pour l’instant) ou la mise au point de techniques toujours plus efficaces d’implémentation de calcul des décimales (la compétition fait actuellement rage sur l’internet entre plusieurs mathématiciens informaticiens pour le titre de programme le plus rapide du monde).

Chacune de ces raisons prise séparément n’est pas suffisante. Il serait probablement plus honnête de dire que c’est la conjonction de toutes ces raisons, sans compter la passion engendrée par la “personnalité” de p  , qui alimente et renouvelle la compétition. Il est vrai que l’implémentation moderne des librairies d’arithmétiques sur grands nombres (basées sur les techniques de FFT  , de Newton  vues précédemment) doit beaucoup à la course aux décimales de p  . Il est vrai également que la mise au point de programmes efficaces n’est pas à la portée de n’importe qui et qu’il faut soigneusement connaitre l’architecture de son calculateur pour espérer obtenir une performance intéressante. C’est un challenge pour de nombreux informaticiens doués en maths (ou l’inverse !). Nous avons vu aussi que la découverte récente de la formule BBP 18 avait ouvert un champ d’investigations théoriques immenses.

J’ajouterai que la popularité de p  joue un rôle primordial : il est ainsi une justification peut-être rarement avancée mais qui prend tout son sens auprès des simples amateurs de mathématiques membres de la secte des adorateurs de p  , ou même visible en écumant les forums de mathématiques de par le monde : la théorie des nombres, l’analyse classique et les constantes ont une base accessible, au moins en apparence, pour les non-mathématiciens et restent les plus grands fournisseurs de petits exercices et de propriétés amusantes des nombres. C’est par ce biais que naissent beaucoup de vocations de mathématiciens, et il suffit de consulter les pages web de mathématiciens comme Bailey, Plouffe , Kanada ou des frères Borwein  pour se convaincre qu’ils gardent à cinquante ans passés une passion rafraichissante pour les constantes, parties visibles de l’iceberg mathématique. La difficulté d’abstraction de certains autres domaines des mathématiques comme la géométrie algébrique les confine probablement à un public davantage connaisseur et ils ne bénéficient donc pas d’autant de symboles presque universels comme p  ou les nombres premiers peuvent l’être en théorie des nombres. On rapprochera ainsi la quête des décimales de p  de celle du plus grand nombre de Mersenne premier par exemple, exercice très à la mode actuellement (au jour où j’écris ce texte, le record vient encore de tomber avec le 43ème nombre de Mersenne premier connu !).

Mais il faut probablement laisser le mot de la fin à Genuys à qui on demandait, après son record à 10000 décimales en 1958, pourquoi il avait choisi p  et qui répondit tout simplement : “C’était pour moi un exercice de programmation, j’aurais pu choisir un autre nombre mais e  c’était trop facile et c  (la constante d’Euler) trop difficile ! Et puis il y avait le record !” [21].

pict

François Genuys en 2004

References

[1]   J. Arndt, C. Haenel, ”p  Unleashed”, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2001.

[2]   D. H. Bailey, “Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation”, may 2003, preprint, http://www.nersc.gov/~dhbailey/dhbpapers/dhb-kanada.pdf.

[3]   D.H. Bailey, P.B. Borwein, S. Plouffe, “On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants”, Mathematics of Computation, 1997, vol. 66, pp. 903-913.

[4]   D. H. Bailey, R. E. Crandall, "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions", Experimental Mathematics, 2001, vol. 10, no. 2, pp. 175-190.

[5]   F. Bellard, “Computation of the n’th digit of pi in any base in O(n2)  , unpublished, 1997, http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_n2.ps.

[6]   L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, ”Pi : A Source Book”, Springer-Verlag, 2nd ed., 1997.

[7]   J. Borwein, P. Borwein, “PI and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity”, Wiley, 1987.

[8]   R. Brent, “Fast multiple-precision evaluation of elementary fonctions”, Journal of the Association of Computing Machinery, 1976, pp.242-251.

[9]   D. J. Broadhurst, “Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of z(3) and z(5)”, 1998, preprint.

[10]   S. A. Cook, S. O. Aanderaa, “On the minimum computation of functions”, Trans. AMS, 1969, vol. 142, pp291-314.

[11]   J. W. Cooley, J. W. Tukey, “An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series”, Math. Comp. 1965, vol 19, pp. 297-301.

[12]   J.-P. Delahaye, ”Le Fascinant Nombre p  ”, Bibliothèque Pour La Science, Belin, 1997.

[13]   P. Eymard, J.-P. Lafon, ”Autour du Nombre p  ”, Hermann, Paris, 1999.

[14]   X. Gourdon, “Computation of the n-th decimal digit of p  with low memory”, preprint, 2003, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Algorithms/nthdecimaldigit.pdf.

[15]   X. Gourdon, P. Sebah, “N-th digit computation”, preprint, 2003, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Algorithms/nthdigit.pdf.

[16]   M. D. Householder, “The Numerical Treatment of a Single Nonlinear Equation”, 1970, MacGraw-Hill, New-York.

[17]   G. Huvent, “Formules BBP”, 2001, Preprint.http://ano.univ-lille1.fr/seminaries/expo_huvent01.pdf.

[18]   D. E. Knuth, “The Art of Computer Programming. Vol. 2: Seminumerical Algorithms”, Addison-Wesley, Reading, MA, 1981.

[19]   L. Kuipers and H.Niederreiter, “Uniform distribution of sequences”, Wiley-Interscience, New York, 1974.

[20]   J. C. Lagarias, “On the normalityof fundamental constants", Experiment. Math., 2001, vol. 10, no 2.

[21]   “Le nombre p  ”, Le Petit Archimède, Association pour le Dévelopement de la Culture Scientifique, Amiens, 1980.

[22]   S. Plouffe, “On the computation of the n  -th decimal digit of various transcendental numbers”, unpublished, 11/1996.

[23]   E. Salamin, “Computation of p  using arithmetic-geometric mean”, Mathematics of computation, 1976, vol. 30, pp. 565-570.

[24]   A. Schönhage, V. Strassen, “Schennelle Multiplikation grosser Zahlen”, Computing, 1971, vol. 7, pp. 281-292.

[25]   J. Tropfke, “Geschichte der Elementarmathematik”, Vierter Band, Ebene Geometrie, Dritte Auflage, Walter De Gruyter & Co, 1940.


Retour à la page d'accueil