John Machin
(1680 - 1751)

Tranches de vie

John Machin est un mathématicien assez peu connu. Il est né en 1680 et fut professeur d'astronomie à Londres. Il découvre en 1706 la formule =16arctan(1/5)-4arctan(1/239), ce qui, grâce au développement en série entière de arctan connu depuis Grégory, lui permet d'obtenir la formule ci-dessus... Mais pour les connaisseurs de l'histoire de Pi, Machin a joué un grand rôle, d'abord parce que ce fut le premier à calculer 100 décimales au moyen de sa formule, mais surtout parce qu'il a ouvert la voie à la recherche de formules d'arctan...

Autour de

Les formules d'arctan sont un moyen simple et rapide de calculer des décimales de Pi. Connaissant le développement arctan(x)= pour x entre -1 et 1, il suffit alors de trouver des combinaisons d'arctan donnant /4=arctan(1). Plus le terme à l'intérieur de la parenthèse d'arctan est petit, plus la série associée converge vite. Aujourd'hui encore, on vérifie parfois les calculs des décimales de Pi grâce à ce type de formule... Il est vrai que l'extraction de racines carrées est toujours fastidieux et qu'une suite de rationnels est bien utile...
Un des derniers records en date (51 milliards de décimales) a été vérifié avec la formule de Gauss.
Les autres formules d'arctan célèbres dont la combinaison est égale à (voir historique) :
(convention x.arctan(1/y)->x*y )

16*5-4*239	donc, on l'aura retenu, elle est de Machin 1706
20*7+8arctan(3/79)	Euler 1755
4*2+4*3	Euler ou Hutton 1776 tout le monde n'est pas d'accord...
16*5-4*70+4*99	Euler, encore lui ! 1764
4*2+4*5+4*8	L. von Strassnitzky
8*3+4*7	Charles Hutton 1776 puis Euler 1779
8*2-4*7	Hermann
12*4+4*20+4*1985	S. Loney 1893 puis Störmer 1896
32*10-4*239-16*515	S Klingenstierna 1730
48*18+32*57-20*239	du grand Gauss lui-même !
48*38+80*57+28*239+96*268	Gauss à nouveau...
24*8+8*57+4*239	Störmer 1896
Et par ordre d'efficacité...	en facilité de Calcul
44*57+7*239-12*682	85,67%
22*28+2*443-5*1393-10*11018	88,28%
17*23+8*182+10*5118+5*6072	92,41%
88*172+51*239+32*682+44*5357+68*12943	93,56%
100*73+54*239-12*2072-52*2943-24*16432	96,38%
12*18+8*57-5*239	96,51%
8*10-1*239-4*515	96,65%
44*53-20*443-5*1393+22*4443-10*11018	97,09%
17*22+3*172-2*682-7*5357	97,95%
16*20-1*239-4*515-8*4030	99,13%
61*38-14*557-3*1068-17*3458-34*27493	99,14%
227*255-100*682+44*2072+51*2943-27*12943+88*16432	99,32%
24*53+20*57-5*239+12*4443	99,61%
127*241+100*437+44*2072+24*2943-12*16432+27*28800	99,92%
4*5-1*239	100%

On mesure le coût de calcul d'une formule telle que celle de Machin par 1/log(5)+1/log(239).
C'est le sens des pourcentages ci-dessus...

Je me suis moi-même amusé à chercher quelques formules et ai trouvé entre autres

128*107+128*122+28*239+96*268+48arctan(19/2167) et

732*530+732*563+128arctan(3/2611)+332arctan(27/64589)+48arctan(53/55479)+
+64arctan(6/15617)+28arctan(6/15617)+28*9703+100*14633

qui sont d'un coût de calcul important mais à convergence rapide.

Le site le plus complet sur les arctan (et qui étudie l'efficacité de ces formules...) est www.ccsf.caltech.edu/~roy/pi.formulas.html

Précision

Cherchons à estimer environ le nombre de termes qu'il faut calculer dans la série pour obtenir d décimales justes de Pi. On peut observer d'après le développement de arctan en série qu'il va falloir estimer n tel que , ce qui revient après simplifications à n>. Etant donné que, dans la combinaison des arctan, c'est le terme où b est le plus petit qui prédomine, pour la formule de Machin, on a alors n>0,72d, ce qui est à peu près bien respecté d'après les essais...

Démonstration

Il serait fastidieux - et pour tout dire inutile ! - de démontrer entièrement la formule de Machin alors que le principe est surtout important... Il suffit de connaître quelques résultats pour entrevoir la démonstration complète ou le moyen de trouver des formules similaires... Les voici :

1) arctan(a)+arctan(b)= (par composition de tan et en évitant ab=1...)

2) (immédiat par la formule précédente (1) )

3) +arctan(x) (toujours évident avec (1) )

4) avec a_i ,b_i ,k entiers
si et seulement si (a₁+ib₁)(a₂+ib₂)...(a_n+ib_n) a une partie imaginaire nulle.
(on remarquera que c'est le cas pour la formule de Machin avec a_i=5, b_i=1 pour i=1,...,16 et a_i=239, b_i=-1 pour i=17,...20 puisque (5+i)¹⁶(239-i)⁴=-681386607803576157184)

La formule provient du fait que le logarithme néperien est défini en complexe par
ln(a+ib)= où p est entier relatif, et la propriété ln(ab)=ln(a)+ln(b) fait le reste...

5) du même genre : avec k, a, b entiers
si et seulement si (1-i)^k(a+i)^m(b+i)ⁿ est un réel.

Essais

n remplace l'infini dans la série en haut...

n=2 : on obtient 3,14182 (3)
n=10 : 3,141592653589793294 (16)
n=50 : 72 décimales justes

on a donc une convergence d'environ 1.4n (proche de 1/0.72=1,388... trouvé au dessus)

Accélération de la convergence

Bizarrement, si le bon vieux Delta2 d'Aitken fonctionnait bien sur la série de Leibniz de même type, il semble que les termes de puissance (2k+1) désorientent un peu le Delta2. Son utilisation est donc moins rentable que le calcul d'un rang supplémentaire dans la série.