Résumé

1 La Formule

Une version moderne de l’algorithme d’Archimède consiste à définir l’algorithme et

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qui permet de calculer étant donné que

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L’efficacité de la méthode n’est pas mauvaise car la convergence est en . Elle n’est pas extraordinaire non plus et de nombreuses autres méthodes (algorithmes, séries..) convergeant aussi linéairement, l’égalent ou la supplantent (sans compter bien sûr les algorithmes de Salamin-Brent ou autres frères Borwein). Nous proposons tout de même de partir de cette vieille idée et de calculer les décimales de avec une vitesse que l’on peut choisir aussi grande que désirée (moyennant un calcul préalable). Ainsi, pour toute valeur de on a la formule qui suit qui demeure valable:

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2 Preuve

Nous nous proposons de calculer exactement l’aire hachurée ci-dessous, qui est un secteur du cercle unité.

Il est facile de voir que cette surface vaut

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En choisissant , on a alors pour tout le cercle divisé en secteurs égaux et :

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car on retrouve l’aire du cercle unité. D’un autre côté, on a la série connue :

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soit et et donc . L’équation 5 devient donc

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Ceci donne une famille de séries convergeant aussi vite que l’on désire vers et améliore donc l’algorithme d’Archimède  .

3 Essais

Pour , si on calcule , alors la série

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donne environ bonnes décimales de à chaque terme.

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