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Benoit Cloitre

Une formule de Noël pour p


 

Benoit Cloitre nous offre une formule de Noël pour p .

Formule
Preuve
References

Formule

Si (x) = prod n -1(x+ i) n i=0 est le symbole de Pocchammer, nous obtenons cette formule générale pour p , valable pour tout n :
sum oo k! sum n (- 1)j p = (-1)n+1 -k(-----1)---- 4 (2j-+-1) k=0 2 -n - 2 k+1 j=0

Preuve

Soit F (n,k) = ----k!---- 2k(- n- 12)k+1 et G(n,k) = 2(2n + 1- 2k)F(n,k) . Il est aisé de vérifier la relation (de type WZ) :

- (2n + 3)F(n+ 1,k)- (2n+ 3)F (n,k) = G(n+ 1,k)- G(n, k).

Puis, en utilisant les notations dans [Wilf], on obtient

n prod -1 a1(n) = a0(n) = - (2n + 3) ==> A(n) = (-1) = (- 1)n. j=0

En outre, G(j,0) = - 4, F (0,k) = 2k(-k!12)-= - 2 prod kj=k1!2j-1 k+1 . La série d’Euler classique sum o o k=01.3...(k!2k-1) = p2 donne sum F (0,k) = - p- 4 k>0 . Pour finir, d’après [Wilf], on obtient:

n sum -1 G(j,0) 1 sum n sum oo k! n- sum 1(-1)j+1 -p - 4 = a1(j)A(j +-1)-+ A(n) F(n,k) = (-1) 2k(-n---1)---+ 4 (2j +-3). j=0 k>0 k=0 2 k+1 j=0

Et donc, sum o o sum n (- 1)j p = (- 1)n+1 k=02k(-nk!-12)-- - 4 j=0(2j+1) k+1 comme voulu.

References

[Wilf]   H.S. Wilf, Accelerated series for universal constants, by the WZ method, Discrete Mathematics and Theorical Computer Science 3, 1999, 189-192.

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