Le "Rounding Up" de Kevin Brown

Alors, prenons un entier naturel non nul n. Par exemple 10. Jusqu'ici tout va bien !
Considérons ensuite le plus proche multiple supérieur ou égal de n-1.
Dans notre cas, on trouve 18 car il est multiple de 9=10-1 et supérieur à 10.
Réitérons le procédé en considérant le plus proche multiple supérieur ou égal de n-2, ici 24, puis de n-3 (28), de n-4 (30) et ainsi de suite pour n-k jusqu'à ce que l'on arrive à k=n-1. On note f(n) le résultat (f(10)=34).
Eh bien, figurez-vous que

Erdös et Jabotinski ont prouvé que plus précisément :

Un deuxième principe

En fait, Erdös et Jabotinski n'utilisaient pas cette construction qu'ils ne mentionnent même pas, elle semble avoir été découverte par Kevin Brown.
Ils considéraient une sorte de crible un peu similaire à celui d'Eratosthene.
La séquence f(1) f(2) f(3)... peut être construite de la manière suivante :

Partons de la séquence 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13...
On enlève un élément sur deux en partant du troisième (3). Donc, on garde
1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 26 28 30 32 34...
On enlève ensuite un élément sur trois en partant du cinquième :
1 2 4 6 10 12 16 18 22 24 28 30 34...
Puis un élément sur quatre en partant du septième :
1 2 4 6 10 12 18 22 24 30 34...
Puis un élément sur cinq en partant du neuvième :
1 2 4 6 10 12 18 22 30 34...
Et ainsi de suite en enlevant un élément sur (k+1) en partant du (2k+1)ème élément.

Je ne sais pas par contre si il a été démontré que c'était la même séquence que précédemment, ou bien alors, c'est peut-être évident et je ne le vois pas !

Constructions préliminaires de K. Brown

Le plus simple est de reprendre l'exemple de K. Brown avec comme nombre n de départ 100.
Voici un tableau ou x représente les n-k et y les multiples supérieurs ou égal au précédent n-k+1. C'est tout le travail que l'on a fait plus haut avec x=9, y=18, puis x=8 et y=24 etc...
On note de plus w=y/x

   x   w    y       x   w    y       x   w    y       x    w   y


 100   1  100      75  26 1950      50  51 2550      25  122 3050
  99   2  198      74  27 1998      49  53 2597      24  128 3072
  98   3  294      73  28 2044      48  55 2640      23  134 3082
  97   4  388      72  29 2088      47  57 2679      22  141 3102
  96   5  480      71  30 2130      46  59 2714      21  148 3108
  95   6  570      70  31 2170      45  61 2745      20  156 3120
  94   7  658      69  32 2208      44  63 2772      19  165 3135
  93   8  744      68  33 2244      43  65 2795      18  175 3150
  92   9  828      67  34 2278      42  67 2814      17  186 3162
  91  10  910      66  35 2310      41  69 2829      16  198 3168
  90  11  990      65  36 2340      40  71 2840      15  212 3180
  89  12 1068      64  37 2368      39  73 2847      14  228 3192
  88  13 1144      63  38 2394      38  75 2850      13  246 3198
  87  14 1218      62  39 2418      37  78 2886      12  267 3204
  86  15 1290      61  40 2440      36  81 2916      11  292 3212
  85  16 1360      60  41 2460      35  84 2940      10  322 3220
  84  17 1428      59  42 2478      34  87 2958       9  358 3222
  83  18 1494      58  43 2494      33  90 2970       8  403 3224
  82  19 1558      57  44 2508      32  93 2976       7  461 3227
  81  20 1620      56  45 2520      31  96 2976       6  538 3228
  80  21 1680      55  46 2530      30 100 3000       5  646 3230
  79  22 1738      54  47 2538      29 104 3016       4  808 3232
  78  23 1794      53  48 2544      28 108 3024       3 1078 3234
  77  24 1848      52  49 2548      27 112 3024       2 1617 3234
  76  25 1900      51  50 2550      26 117 3042       1 3234 3234

Il faut lire le tableau de x=100 vers x=1. L'écart entre deux y consécutifs décroit, ce qui est normal vu la construction de y. Tant qu'il n'atteint pas 0, w croit donc, d'une unité à chaque fois. Comme l'écrat entre deux y décroit de deux en deux, fatalement oserais-je dire, cet écart atteint 0 en x=50.
Jusqu'à ce stade, on peut modéliser y par la parabole f₁ :

y=(101-x)x

Ensuite, tout naturellement, l'écart entre deux y consécutifs décroit de quatre en quatre et w croit donc de deux en deux jusqu'à x=38. Le modèle s'écrit alors comme la parabole f₂ d'équation :

y=(151-2x)x

qui atteint son maximum, et donc sa dérivée nulle, et donc l'écart nul avec le précédent, en pour les x entiers.
Et effectivement, à partir de x=38, l'écart entre deux y consécutifs décroit de six en six et w s'accroit de trois en trois. y vaut alors :

y=(189-3x)x

qui représente la parabole f₃, et ainsi de suite...
Si bien que pour la k-ième parabole, on peut écrire :

y=(A_k-k.x)x

avec A_k entier. Si l'on dérive pour connaitre le maximum de cette parabole comme on l'a fait plus haut, cela donne pour x :

(1)

Pour trouver la valeur de A_k, il suffit alors de calculer le point d'intersection entre le k-ième parabole et la maximum de la précédente parabole, c'est à dire :

(2)

On peut le voir sur le graphique suivant où f₁, f₂, f₃... sont les paraboles respectives dont on a calculé les équations précédemment.

On remplace alors y_k-1 par la valeur trouvée en (1) et on obtient :

Mézalors, avec la valeur de A_k trouvée en (1), on peut écrire :

pour k>1, car pour k=1, on a :


En débutant avec x₀=y₀=n puisque l'on part de l'entier considéré au départ, on obtient :

Lorsque k tend vers l'infini, y_k atteint toujours la valeur f(n) (puisque pour n=100 par exemple, k ne peut dépasser 100)

En conclusion, lorsque l'on fait tendre cette fois-ci n vers l'infini, on a alors :

d'après Wallis !

Et voilà un beau résultat de plus...

Essais

Voici un programme de calcul de la valeur f(n) sous Maple. Il n'est certainement pas optimisé, j'ai simplement cherché un moyen court et simple d'évaluer f(n) pour procéder à quelques essais.

	brown := proc(n)
         local x,f,i,y;
             x := n;
             f := n;
             for i from x by -1 to 2 do
                 y := i-1; while y < f do  y := y+i-1 od; f := y
             od
         end

n=	n^2/f(n)=
10	2,94117
50	3,1172
100	3,0921459
200	3,14169
500	3,13999
1000	3,1390275

Hum, bon, visiblement c'est une suite amusante... En fait, si l'on se rapproche effectivement inéluctablement de Pi avec n, certaines valeurs de n sont favorables à la précision du calcul comme n=200 et d'autres beaucoup moins... De toutes façons, cela semble être une convergence logarihmique, comme pour le produit infini de Wallis