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Les Programmes sur Pi

Tout bon site sur Pi qui se respecte doit avoir une page sur les programmes informatiques ! En effet, cause ou conséquence de l'utilisation des ordinateurs, on a vu fleurir de nombreux algorithmes très performants depuis celui de Salamin en 1976. Ils sont épaulés par l'utilisation de méthodes de multiplication toujours plus rapides, en O(n.log(n)), et dérivées de la transformée de Fourier rapide.
Les progrès dans le calcul des décimales ont ainsi été sensibles. Mais Kanada et les Chudnovsky ne sont pas, comme on le pense parfois, les seuls intéressés capables de l'écriture d'un programme efficace. C'est même devenu un sport international. Ainsi Carey Bloodworth et Xavier Gourdon pour ne citer qu'eux se surpassent régulièrement et offrent deux logiciels qui sont même plus performants que celui utilisé par Kanada par exemple !
On trouve maintenant des programmes pour toutes les plates-formes, et c'est l'objet de cette page de les présenter. De 100 décimales à plusieurs centaines de millions, vous trouverez je l'espère votre bonheur !
A noter que cette page n'en est qu'aux premiers pas de son existence et que d'autres adresses et programmes viendront certainement l'enrichir prochainement, histoire de se démarquer un peu plus des deux pages anglaises de référence (voir plus bas).

Tout d'abord, deux programmes sortent vraiment du lot. Le premier est le plus rapide et le second est presque aussi efficace mais surtout disponible sur toutes les plates formes !

PiFast 3.2 de Xavier Gourdon

Page de Xavier Gourdon - Téléchargement
Ce programme en perpétuelle évolution est développé par un français qui s'est fait un nom en quelques mois. Le programme est basé sur la série de Chudnovsky (convergence 14n) et utilise bien sûr la transformée de Fourier rapide pour les multiplications. Une vérification est assurée par la formule de Ramanujan (convergence 8n). Ce programme détient le record du nombre de décimales calculées par un particulier sur un PC, voici le tableau en détail pour la version 3.1 :

Nbre de décimales	Qui	Temps	Date	Machine (processeur, memoire)	Version de PiFast
4,294,960,000	Shigeru Kondo	246 hours	13 Nov 1999	PIII 550 (1024 Mo)	3.1
2,684,354,560	Shigeru Kondo	245 hours	19 Oct 1999	PIII 550 (1024 Mo)	2.3
2,147,483,648	Shigeru Kondo	157 hours	13 Sep 1999	PIII 550 (1024 Mo)	2.3
1,610,612,736	Shigeru Kondo	119 hours	29 Aoû 1999	PIII 550 (1024 Mo)	2.1
1,073,741,824	Shigeru Kondo	63.5 hours	13 Aoû 1999	PIII 550 (1024 Mo)	2.1
268,435,456	Stuart Lyster	32 h 40 min	13 Aoû 1999	PII 300 (128 Mo)	2.2
134,217,728	Shigeru Kondo	2 h 45 min.	4 Aoû 1999	PIII 550 (1024 Mo)	1.1
67,108,864	Stuart Lyster	8 h 18 min	30 Jul 1999	PII 300 (128 Mo)	1.1
67,108,864	Stuart Lyster	19 h 12 min	21 Jul 1999	PII 300 (128 Mo)	1.0

d'après le tableau de Xavier Gourdon

Je vous encourage vivement à aller faire un tour sur la page de Xavier Gourdon, il explique pas mal de choses sur la transformée de Fourier rapide et sur le calcul informatique (exercice : trouver un équivalent de computation !) des plus célèbres constantes...

PiAGM de Carey Bloodworth

Page de C. Bloodworth - Les téléchargements du programme sont regroupés par plate-forme plus bas...
Carey est un des vétérans des programmes de calcul de Pi puisque la première version de son fameux logiciel PiAGM date de 1996. A l'époque, son ambition était de faire calculer 1 million de décimales par un processeur 386 en une journée, exploit mémorable !
Depuis, le programme a bien évolué mais reste axé autour de l'algorithme de Salamin, ce qui justifie le AGM, pour moyenne arithmético-géométrique en français, dans le nom. Bien sûr, on retrouve l'utilisation de la fameuse FFT pour les multiplications des longs entiers. Mais l'originalité de PiAGM consiste à proposer le calcul au moyen d'un paquet de variantes de la FFT. Au choix ! Vous trouverez leur description sur la page quasi-officielle du programme.
Le logiciel est un peu moins rapide que PiFast, mais a un autre avantage certain, il est disponible sur à peu près toutes les plate-formes du marché et fournit les sources. Les archives sont la plupart du temps au format courant tar/gzip sauf mention explicite.

Le bazar des OS

Pour contenter tous les systèmes d'exploitations, voici une grande partie des meilleurs programmes pour les diverses plate-formes du marché. Le lien du téléchargement renvoie la plupart du temps au programme présent sur les pages des auteurs, car je n'ai pas assez de place sur mon compte d'hébergement.
Mais si un lien ne fonctionne pas, demandez-moi de vous envoyer le programme, je les ai tous sur mon disque. N'hésitez-pas !
Ah, une chose encore, j'ai choisi de différencier les logiciels spécifiques à une plate-forme et les codes sources qui sont compilables un peu partout. Pour que l'on ne se retrouve pas comme moi avec la joie d'avoir téléchargé un programme sans pouvoir le faire marcher faute de compilateur !

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Macintosh

Honneur à mon ordinateur préféré... Ne figurent ici que les programmes fournis avec un executable Mac. Vous êtes ensuite libres de compiler les sources C répertoriées plus bas, mais ce n'est plus un programme spécifique à la plate-forme

PowerPC

PiAGM - Carey Bloodworth
Page de l'auteur - Télécharger

PiPrimes - Isabel Georges
Adresse de l'auteur - Télécharger
Une très bonne surprise, ce programme. Dommage qu'il n'aille pas au-dela de 29000 décimales... Il utilise le package MPFUN, de David Bailey, qui comprend des routines de calcul arithmétique de précision.

CalculatePi version 1.5 - Carey Bloodworth
Page de l'archive - Télécharger
Sorti le 2/17/95, le programme est optimisé PowerPC et utilise la formule
Pi/4 = 6 tan^-1(1/8) + 2 tan^-1(1/57) + tan^-1(1/239) . Mais pas de FFT pour autant... 20000 décimales en 30 secondes, mais un temps de calcul en n²

Buffon Needle - George Reese
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Comme son nom l'indique, le programme se charge d'estimer Pi par la méthode de l'aiguille de Buffon. Bien sûr, il ne faut pas espérer beaucoup de décimales, mais c'est une belle adaptation informatique.

Pi and e - J.F. Pautex
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Une interface un peu déroutante, mais un programme qui marche et permet en plus le calcul de e.

Performances - G3 266MHz 128Mo RAM MacOS 8.6

	10000 décimales
PiAGM	<2 secondes
PiPrimes	5 secondes
CalculatePi	8 secondes
Pi and e	56 secondes
Buffon Needle	!

MacOS X Server

PiAGM - Carey Bloodworth
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Windows/DOS

Les pages de Stuart Lyster et Dara sont sans aucun doute les meilleurs site en anglais consacrés aux programmes calculant Pi. Pour établir une comparaison des programmes, il était inutile de se casser la tête, rien ne vaut un coup d'oeil aux magnifiques tableaux qu'il ont concocté. Je ne peux que vous conseiller d'aller faire un petit saut sur leur page si vous n'êtes pas allergiques à l'anglais.
Sinon, voici une grande liste de programmes suivi d'une petite vue d'ensemble des performances, faites votre choix ! Sauf superpi, il me semble que tous les autres programmes sont livrés avec leur code source, le plus généralement en C/C++.

Pifast 3.2 - Xavier Gourdon
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Voir plus haut !

Pi_css4.exe - Takuya Ooura
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Repose sur la FFT et l'AGM, était à l'origine un test de rapidité de routines de multi-précision par la FFT. La base de la FFT utilisée est 8,4,2

Piologie_pi.zip - Sebastian Wedeniwski
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Basé sur piologie, une bibliothèque de fonctions arithmétiques

PI4.EXE - Giovanni Ciampa
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Repose sur le code de Takuya Ooura de l'univ. de Tokyo. Pi4.exe utilise une FFT de base 4, 2

GioPi - Giovanni Ciampa
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Un programme qui me semble différent de celui mentionné dans le tableau. Il est basé sur une formule d'Arctan et provient du monde Atari dans lequel il a reçu des récompenses.

Ahppi.exe - Alan Pittman
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Programme XMPPI utilisant la FFT et fourni comme une source c avec son éxécutable DOS

Aptest.exe - Mikko Tommila
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Une partie de l'ensemble de programmes de calcul APFLOAT sur les entiers de Tommila

Superpi.exe - Yasumasa Kanada
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C'est une variante du fameux programme qui détient le record de calcul des décimales soit 206,158,430,000 décimales en Sept 1999. Maic ce programme ne va que jusqu'à 33,5 millions de décimales.

Pi Program - Terj Mathisen
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Ce programme est basé sur une série d'Arctan et a la particularité d'avoir été écrit en assembleur, le code est d'ailleurs fourni avec l'éxécutable DOS.

Pi Bellard - Fabrice Bellard
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Voici notre hacker national au travail pour ce bon éxécutable utilisant une série d'Arctan et la FFT. Grande quantités de décimales et temps de travail quasi-linéaire au programme !

Pi dpmi - Dario Alpern
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Un programme écrit en assembleur 386 qui calcule au passage e et ln(2). Pour Pi, il utilise une formule d'arctan.

Pi dpm - Jan Kraak
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Une variante du programme précédent mais utilisant cette fois-ci la formule de Machin. Cela n'enlève pratiquement rien à la rapidité du programme.

WinPi - Martin Mamo
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Un programme assez connu mais lent. Il est le résultat d'un portage depuis un autre éxécutable sur Sun et se base sur la formule d'Arctan de Klingstierna.

PiW - Harry Smith
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Un programme très lent mais bien documenté avec son code source. Il repose sur une formule d'Arctan.

1-million-of-digits
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Exactement 1 million de décimales avec ce programme vous obtiendrez, Yoda a dit.



Performances

En attendant de faire mes propres essais, voici ceux réalisés par Stuart Lyster et Dara. Ils comprennent également des programmes compilés à partir des codes sources disponibles plus bas.

Sur Pentium II 300MHz / 128Mo RAM

Classement de Stu	Programme	131,072 décimales	1,048,576 décimales	Efficacité	Maximum de décimales
#1	PiFast.EXE ver 2.2	4.56 secs	52.01 secs.	1.00	24 gigs avec ver 3.1
#2	PI_CSS4.EXE	10	111 secs.	2.13	67M
#3	PIAGM 2.3.1c	n/a	124 secs	2.38	1G (sûr), 2G ?
#4	Piologie_pi.zip	21 secs.	238 secs.	4.58	??
#5	Pi4.exe	16 secs.	242 secs.	4.65	2M
#6	Ahppi.exe	?	292 secs.	5.61	1M
#7	Aptest.exe	35 secs.	432 secs.	8.31	32M
#8	Super_pi.exe	39 secs.	513 secs.	9.86	33M

Sur 333 MHZ Pentium II sous WindowsNT 4.0 pour 131 072 décimales de Pi (certains programmes sont des sources, disponibles plus bas, je rappelle...)

Program	Author	Formule ou méthode	Temps de calcul
Pi AGM 2.3	Carey Bloodworth	Formule Salamin	10 s
fftpi	Takuyo Ooura	Formule Salamin	11 s
Pi AGM 2.3	Carey Bloodworth	Algo quartique des Borwein	16 s
Ahppi	Alan Pittman	Formule Salamin	23 s
Aptest	Mikko Tommila	Algo quartique des Borwein	32 s
Super Pi	University of Tokyo	Formule Salamin	33 s
Aptest	Mikko Tommila	Formule Salamin	33 s
GioPi	Giovanni Ciampa	Arctan	47.198 s
blokpi	Jason Papadopoulos	Série Gosper	95.44 s
Pi Program	Terj Mathisen	Arctan	148.886 s
Pi Belard	Fabrice Belard	Arctan	165.25 s
Pi DPMI e	Dario Alpern	Arctan	182 s
Pi DPM	Jan Kraak	Formule Machin	196.74 s
pi_c50	Jason Papadopoulos	Formule Arctan Klingstierna	334.12 s
WinPi	Martin Mamo	Formule Arctan Klingstierna	994 s
pi	Roy Williams	Formule Machin	1498.85 s
PiW	Harry Smith	Formule Arctan	1885.39 s
pi8	Carey Bloodworth	Formule Machin	1935 s

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Linux

Linux (pour Intel)

PiAGM - Carey Bloodworth
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Pixlinux - Jorg Arndt
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Basé sur l'algorithme à convergence quartique des Borwein principalement, ce programme est relativement lent mais pourtant hautement configurable puisque ce sont pas moins de dix formules qui sont proposées. Pas de sources, hélas...

LinuxPi - Jorg Arndt
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Ce programme est un portage de WinPi sur Linux, il en possède donc les avantages et les inconvénients comme une certaine lenteur.

Linux (pour Power PC)

PiAGM - Carey Bloodworth
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Linux (pour Motorola 68k (vieux Macs !))

PiAGM - Carey Bloodworth
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Linux (pour stations alpha et processeur>21064)

PiAGM - Carey Bloodworth
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Linux (pour stations SuperSPARCS)

PiAGM - Carey Bloodworth
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Unix

HP UX, processeurs>64bit PA-RISC et HP UX 10

PiAGM - Carey Bloodworth
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IRIX, processeurs>64bit MIPS et IRIX 6.X

PiAGM - Carey Bloodworth
Page de l'auteur - Télécharger

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SUN

SUN SOLARIS, stations UltraSPARCS et Solaris 2.x

PiAGM - Carey Bloodworth
Page de l'auteur - Télécharger

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BeOS

Processeurs>Pentium avec BeOSR4

PiAGM - Carey Bloodworth
Page de l'auteur - Télécharger (zip)

Processeurs PowerPC avec BeOSR4

PiAGM - Carey Bloodworth
Page de l'auteur - Télécharger (zip)

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OS/2

Pi - Juergen Bohl
Mail de l'auteur - Télécharger

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Amiga

Pour Workbench >2.0.4 et processeur> 68020

PiCalc - Steffen Thorsen
Page de l'auteur - Télécharger

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Script CGI

PiTrainer - Magnus Bodin
Page de l'auteur - Télécharger
Un petit programme de test de vos connaissances sur les décimales

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Sources C

PiAGM - Carey Bloodworth
Page de l'auteur - Télécharger

BlockPi
Page de l'auteur - Télécharger - Explications
Un programme très rapide bien qu'il utilise une série, en l'occurence celle de Gosper. Facile à comprendre, il peut aller jusqu'à 6 millions de décimales, mais rrequiert un temps de calcul en n².

Pidecimal.c - Fabrice Bellard
Page de l'auteur - Télécharger
Calcul du n-ième digit de Pi sans connaître les précédentes par notre polytechnicien préféré !

Pi.c - Roy Williams
Mail de l'auteur - Télécharger
Utilise la formule de Machin et est bien documenté.

Pi3.c - Simon Plouffe
Mail de l'auteur - Télécharger

Page de Rhoads
Page de l'auteur - pibis.c - pibis3.c

Pi8.c - Carey Bloodworth
Page de l'auteur - Télécharger
Programme utilisant les formules d'arctan.

Pi_c50.c - Jason Papadopoulos
Page de l'auteur - Télécharger
Programme utilisant la formule de Klingenstierna (1730, voir page de Machin)

Piclassic.c - Xavier Gourdon
Page de l'auteur - Télécharger
Programme simple utilisant la formule de Machin

PiHex - Colin Percival
Page de l'auteur - Télécharger
Calcule les digits en héxadécimal de Pi.

Pi20 - Kurt Van Branden
Mail de l'auteur - Télécharger
Basé sur une série de Ramanujan.

Pi9 - Kurt Van Branden
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Même combat ! Basé sur une série de Ramanujan. Un tout petit peu plus lent.

Pi3 - Kurt Van Branden
Mail de l'auteur - Télécharger
Encore un ! Basé sur la série de Machin. Et encore plus lent.

Pi4 - Kurt Van Branden
Mail de l'auteur - Télécharger
Un petit dernier ? Basé sur la MAG. Et toujours plus lent.

Pi10 - Kurt Van Branden
Mail de l'auteur - Télécharger
Eh bien non, encore un... Basé sur l'algorithme à convergence quartique des Borwein. Et toujours plus lent.

Algorithme compte-gouttes - Spigot Algorithm

Pi2bisc - Stan Rabinowitz
Page d'origine - Télécharger

Programmes nains - Tiny Programmes (programmes les plus courts possibles)

Tinypi - ?
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Tiny - Dik T Winter
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Le fameux programme de Dik T Winter du cwi institute de Hollande. Repose sur la même série d'Euler que les algorithmes compte-gouttes. 158 caractères pour 2400 décimales !

Tiny2 - Sebastian Wedeniws
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Encore plus fort, 142 caractères, mais je n'ai pas testé le nombre de décimales que le programme obtient

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Source Turbo-Pascal

CalcPi (zip)
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Classes Java

Buf1.class - George Reese
Page de l'applet - Télécharger
Une simulation de lancer d'aiguilles dans le cadre du fameux problème de l'aiguille de Buffon.

Carlo.class - K. Kossert
Page de l'applet - Télécharger
Une simulation de lancer de fléchettes cette fois-ci pour estimer Pi au moyen de la méthode de Monté-Carlo.

PiGenerator - Gus
Page de l'applet - Télécharger
Un simple générateur, mais assez pratique.

Ramanujan.class - Gary Talkiewicz
Page de l'applet - Télécharger
Une jolie interface, et une belle rapidité, mais un peu limité malheureusement.

Machin.class - John Bohr
Page de l'applet - Télécharger
Un affichage linéaire, et une interface pratique pour ce programme à base de formule de Machin.

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Calculatrices

PICAL - Jean-Christophe BENOIST
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Programme pour HP-49 basé sur l'algorithme compte-goutte de Gosper. Très petit (256 octets), il fournit 1000 décimales en 10 minutes. On entre le nombre de décimales souhaité et on lance le programme.

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Librairies mathématiques - FFT ou multiplication rapide d'entiers

FFT - Takuya OOURA
Page de l'auteur - Télécharger
C'est un "package" pour calculer avec les transformations de Fourier, cosinus et sinus discrètes de séquences de nombres à une dimension et de longueur 2^N. Contient les sources c et fortran, et le programme fftpi mentionné plus haut qui est particulièrement rapide.

FFTW
Page du site - Page des téléchargements
Un site se fait une spécialité de la transformée de Fourier rapide, c'est fftw.org, allez y jeter un coup d'oeil. La majorité des plates formes ont droit à une version compilée de ces librairies.

HFloat - Jorg Arndt
Page du site - Mail de l'auteur
Un passionné du calcul informatique, on trouvera sur sa page une librairie mathématique traitant du calcul des longs réels.

APFloat - Mikko Tommila
Page du site - Mail de l'auteur
Des librairies de multiplication rapide, par l'auteur encore une fois d'un programme de calcul des décimales de Pi.

CLN - Bruno Hable
Page du site - Mail de l'auteur
Des librairies de multiplication rapide également, par un informaticien français, cette fois-ci.