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Salle Pi du palais de la découverte à Paris
Et pour quelques décimales
de plus...
Historique des records
Les meilleurs calculs de décimales de Pi à travers les âges... :
(en notations modernes, bien sûr...)
note : 4*2+4*3 veut dire Pi=4 arctan(1/2)+4arctan(1/3), c'est la formule qui sert à calculer les décimales (au moyen du DL d'arctan)
| NOM | DATE |
Approx. ou méthode utilisée |
Décimales justes |
| Babyloniens | -2000 |
3+1/8=3,125 |
1 |
| Egyptiens (scribe Ahmès) | -1650 |
(16/9)2=3,16045 |
1 |
| Chinois | -1200 |
3 |
0 |
| Bible | -550 |
3 |
0 |
| Archimède | -250 |
3,14185 |
3 |
| Hon Han Shu | 130 |
1 |
|
| Ptolémée | 150 |
377/120=3,14166 |
3 |
| Chung Hing | 250 |
1 |
|
| Wang Fau | 250 |
142/45=3,155 |
1 |
| Liu Hui | 264 |
3,14159 |
5 |
| Siddhanta | 380 |
3+177/1250=3,1416 |
3 |
| Tsu Chung Chih | 480? |
355/113=3,141592 |
6 |
| Aryabhata | 499 |
3,14156 |
4 |
| Brahmagupta | 640 |
101/2=3,1622 |
1 |
| Al-Khowarizmi | 800 |
3,1416 |
3 |
| Fibonacci | 1220 |
3,141818 |
3 |
| Al-Kashi | 1429 |
6016I59II28III1IV34V51VI46VII14VIII50IX |
14 |
| Otho | 1573 |
3,1415929 |
6 |
| Viete | 1593 |
3,1415926536 |
9 |
| Romanus | 1593 |
|
15 |
| Van Ceulen | 1596 |
méthode d' Archimède |
20 |
| Van Ceulen | 1609 |
" |
34 |
| Grienberger | 1630 |
" |
39 |
| Newton | 1665 |
" |
16 |
| Sharp | 1699 |
" |
71 |
| Seki | 1700 |
" |
10 |
| Machin | 1706 |
16*5-5*239 (Machin) |
100 |
| De Lagny | 1719 |
4*2+4*3 (Euler) |
112 (sur 127 calculées) |
| Takebe Katahiro | 1723 |
polygone 1024 côtés |
41 |
| Matsunaga | 1739 |
|
50 |
| Vega | 1794 |
20*7+8arctan(3/79) (Euler 1755) |
140 |
| Rutherford | 1824 |
16*5-4*70+4*99 |
152 (sur 208) |
| Strassnitsky, Dahse | 1844 |
4*2+4*5+4*8 |
200 |
| Clausen | 1847 |
8*3+4*7 (Hutton 1776) |
248 |
| Lehmann | 1853 |
8*3+4*7 |
261 |
| Rutherford | 1853 |
formule de Machin |
440 |
| Shanks | 1874 |
formule de Machin |
527 (sur 707) |
| Ferguson | 1945 |
12*4+4*20+4*1985 |
539 |
| Ferguson | 1947 |
|
620 |
| Ferguson | 1948 |
|
710 |
| Ferguson et wrench | 1948 |
|
808 |
| Smith et Wrench | 1949 |
|
1 120 |
| Reitwiesner sur l' ENIAC | 1949 |
formule de Machin |
2 037 |
| Nicholson et Jeenel | 1954 |
formules d'arctan |
3 092 |
| Felton | 1957 |
32*10-4*239-16*515 |
7 480 |
| Genuys | 01-1958 |
|
10 000 |
| Felton | 05-1958 |
48*18+32*57-20*239 |
10 021 |
| Guilloud | 1959 |
|
16 157 |
| Shanks et Wrench | 1961 |
24*8+8*57+4*239 |
100 265 |
| Guilloud et Filliatre | 1966 |
|
250 000 |
| Guilloud et Dichampt | 1967 |
|
500 000 |
| Guilloud et Bouyer | 1973 |
formules Störmer+ Gauss |
1 001 250 |
| Miyoshi et Kanada | 1981 |
|
2 000 036 |
| Guilloud | 1982 |
|
2 000 050 |
| Tamura | 1982 |
|
8 388 576 |
| Kanada, Yoshino et Tamura | 1982 |
|
16 777 206 |
| Gosper | 1985 |
suite de Ramanujan |
17 526 200 |
| Bailey | 01-1986 |
algorithmes d' ordre 2+ d' ordre 4 des Borwein |
29 360 111 |
| Kanada et Tamura | 10-1986 |
algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein |
67 108 839 |
| Kanada, Tamura, Kobo | 01-1987 |
" |
134 217 700 |
| Kanada et Tamura | 01-1988 |
" |
201 326 551 |
| Chudnovsky et Chudnovsky | 05-1989 |
Suites de type Ramanujan |
480 000 000 |
| Chudnovsky et Chudnovsky | 06-1989 |
Suites de type Ramanujan |
525 229 270 |
| Kanada et Tamura | 07-1989 |
algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein |
536 870 898 |
| Chudnovsky et Chudnovsky | 08-1989 |
Suites de type Ramanujan |
1 011 196 691 |
| Kanada et Tamura | 11-1989 |
algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein |
1 073 741 799 |
| Chudnovsky et Chudnovsky | 08-1991 |
Suites de type Ramanujan |
2 260 000 000 |
| Chudnovsky et Chudnovsky | 05-1994 |
Suites de type Ramanujan |
4 044 000 000 |
| Kanada | 06-1995 |
algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein |
4 294 967 286 |
| Kanada | 10-1995 |
algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein |
6 442 450 938 |
| Takahashi-Kanada | 08-1997 |
algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein |
51,539,600,000 |
| Takahashi-Kanada | 04-1999 | algo de Brent/Salamin |
68,719,470,000 |
| Takahashi-Kanada | 20-09-1999 | 206,158,430,000 soit environ 3.236 |
|
| Kanada | 06-12-2002 | formules type Machin |
1,241,100,000,000 |
d'après D. Bailey, J. et P. Borwein, S. Plouffe et moi-même
Décimales calculées à la main puis sur des ordinateurs
D'autres graphiques (personnels)
Position calculée (digit en base 2 sans les digits précédents)
| Bailey-Borwein-Plouffe |
1996 |
40 000 000 000 |
| Bellard |
6-7-1996 |
50 000 000 000 |
| Bellard |
7-10-96 |
100 000 000 000 |
| Bellard |
22-9-97 |
1 000 000 000 000 |
| Colin Percival - Project Pihex |
21-8-98 |
5 000 000 000 000 |
| Colin Percival - Project Pihex |
9-2-99 |
40 000 000 000 000 |
A noter que la position 250
000 000 000 000 est en cours de calcul
(250 000 milliardième position !)
Fraction continue de Pi
Pas mal de termes de la fraction continue de Pi ont été calculés. Voici les principaux records en date :
| Gosper | 1977 |
17,001,303 |
| H. Havermann | Juin 1999 |
20,000,000 |
| H. Havermann | Mars 2002 |
180,000,000 |
A noter que la page de Havermann présente
le fichier des termes et une très intéressante page explicative à propos de la fraction continue de Pi
Records de mémorisation
Un japonais détient le record, essayez d'imaginer ce que cela représente en termes de mémoire, c'est fou !
Les principaux records :
| Simon Plouffe |
1975 |
4096 |
| Hideaki Tomoyori |
1979 |
15,151 |
| Hiroyuki Goto (en 9h) |
1995 |
42,000 |
Les échos du record de Kanada datant de
décembre 2002 :
Deux calculs pendant près de 600 heures sur un HITACHI SR8000/MP doté
de 1TB de stockage (1024Go), et basés sur deux formules indépendantes
de type Machin, ont généré 1,241,100,000 décimales
de Pi après que le résultat obtenu en base hexadécimale
ait été converti en base dix. Les formules employées sont
:
Ce retour à des formules étonnament simples après l'utilisation pendant une quinzaine d'années des algorithmes de Brent-Salamin, des Borwein ou des séries de Ramanujan et Chudnovsky était vraiment inattendu. il semble que malgré les améliorations algorithmiques perpétuelles, la complexité de ces formules avait atteint la limite des capacités des ordinateurs. En effet, l'utilisation perpétuelle de racines, multiplications et divisions nécessitait l'utilisation de la transformée de fourier rapide (FFT) à très grande échelle. Cette dernière requiert énormément de mémoire pour fonctionner. Kanada est donc revenu à des méthodes plus sages, qui nécessitent sensiblement plus d'opérations arithmétiques mais ne requièrent pas de très larges FFT et donc beaucoup moins de mémoire. Ces difficultés sont récemment apparues même au niveau des plus gros ordinateurs de la planète, dont les communications réseau et mémoire semblaient finir par saturer plus vite que la théorie ne le prévoyait. Kanada estime que son implémentation est environ deux fois plusplus rapide que la précédente qui utilisait l'algorithme des Brent-Salamin et celui d'ordre quartique des Borwein.
Quelques articles ou sites sélectionnés à consulter à propos de ce record :
Le Laboratoire de Kanada avec de nombreux articles dans "Press Release"
Page de J. Borwein consacrée au record
MathTrek (Ivan Peterson)
Les échos du record de Takahashi-Kanada
datant d'avril 1999 :
Deux calculs sur un HITACHI SR8000 basés sur deux algorithmes indépendants
(méthode de Brent/Salamin
et algorithme d'ordre 4 des frêres Borwein) ont
généré 68,719,476,736 (=236) décimales de Pi. En comparant les deux résultats,
on a trouvé 68,719,476,693 décimales communes. Le nouveau record mondial a
donc été proclamé pour 68,719,470,000 décimales de Pi calculées.
Programme principal :
Début : 2 Avril 1999 20:14:38
Fin : 4 Avril 1999 05:08:41
Temps total : 32:54:02
Mémoire utilisée : 296 GB
Algorithme : Gauss-Legendre (Brent-Salamin)
Programme de vérification :
Début : 4th April 1999 05:08:48
Fin : 5th April 1999 20:29:25
Temps total : 39:20:37
Mémoire utilisée : 280 GB
Algorithme : ordre 4 des Borwein
Statistiques sur Pi
Fréquence de distribution des décimales sur les 50 000 000 000 premières:
'0' : 5000012647
'1' : 4999986263
'2' : 5000020237
'3' : 4999914405
'4' : 5000023598
'5' : 4999991499
'6' : 4999928368
'7' : 5000014860
'8' : 5000117637
'9' : 4999990486
Chi deux = 5.60
Fréquence de distribution des décimales de 1/Pi sur les 50,000,000,000 premières:
'0' : 4999969955
'1' : 5000113699
'2' : 4999987893
'3' : 5000040906
'4' : 4999985863
'5' : 4999977583
'6' : 4999990916
'7' : 4999985552
'8' : 4999881183
'9' : 5000066450
Chi deux = 7.04
Et nouvelles statistiques sur le record de septembre 1999 (206,158,430,000 décimales) :
Deux calculs sur un HITACHI SR8000 basés sur deux algorithmes indépendants (méthode de Brent/Salamin et algorithme d'ordre 4 des frêres Borwein) ont généré 206,158,430,208 (=3.2^36) décimales de Pi. En comparant les deux résultats, on a trouvé 206,158,430,163 décimales communes. Le nouveau record mondial a donc été proclamé pour 206,158,430,000 décimales de Pi calculées.
Programme principal :
Début : 18 Septembre 1999 19:00:52 (heure du Japon)
Fin : 20 Septembre 1999 08:21:56
Temps total : 37:21:04
Mémoire utilisée : 865 GB (=6.758*128)
Algorithme : Gauss-Legendre (Brent-Salamin)
Programme de vérification :
Début : 26 Juin 1999 01:22:50
Fin : 27 Juin 1999 23:30:40
Temps total : 46:07:10
Mémoire utilisée : 817 GB (=6,383*128)
Algorithme : ordre 4 des Borwein
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