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L'univers de Pi - V2.48
modif. 23/12/2007
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pict

Benoit Cloitre

p et Log(2) dans un miroir


 

Benoit Cloitre, toujours aussi imaginatif, poursuit sa chronique des similitudes entre constantes célèbres après celle entre   e et p .

1 Pour p
2 Pour Log(2)
Preuve pour Pi
Preuve pour Log(2)
Vérification par code Pari-GP

1 Pour p

Soit

Soit f1 = x /= 2 et fn = n(nfn--11)+ 1 alors ( ) limn --> oo ff2n2n---2n2n--12-= xx--12 p2 . En conséquence, si l’on écrit

---n(n---1)--- fn = 1+ 1 + -(n-(1n-) 2(n)-(n2-)3) 1+...+1+...2.1- x

alors on obtient une fraction continue type Brounker   inversée.

2 Pour Log(2)

Soit u1 = x /= 2 et 2 un = (nu-n1-)1 + 1 alors limn -->o o 2n-1u2n = Log(2) + x1-1 . La fraction continue équivalente est

2 un = 1 +---(n---1)2--- 1+ 1+(n(-n2-)3.)2..- ...+1+1.x1

Preuve pour Pi

Il est aisé de voir que, par induction, f2n-2n-1 ( 1 )(x-1)p rod n 4k2 f2n-2n-2 = 1 + 2n x-2 k=14k2--1 et l’on reconnaît le produit de Wallis   .

Preuve pour Log(2)

Soit ---1-- -1- Q(n) = 2n-u2n- x-1 . On voit facilement que pour n > 1 , sum k+1 Q(n + 1)- Q(n) = 2n(21n+1) = 21n - 21n+1 ==> Q(n +1) = 2nk+=11 (-1)k-----> Log(2) .

Vérification par code Pari-GP

Pour Pi

x=171679;u=x;for(n=2,100,u=n*(n-1)/u+1;if(n%2==0,print1((u-n-1)/(u-n)-prod(k=1,n/2,4*k^2/(4*k^2-1))*(1+1/n)*(x-1)/(x-2),",")))

,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,

Pour log(2)

f(n)=if(n<2,171679,(n-1)^2/f(n-1)+1);Q(n)=1/(2*n-f(2*n))-1/(171679-1);for(n=1,10,print1(Q(n+1)-sum(k=1,2*n+1,(-1)^(k+1)/k),","))

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,

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